We prove an abstract theorem giving a $\langle t\rangle^\epsilon$ bound ($\forall \epsilon>0$) on the growth of the Sobolev norms in linear Schr\"odinger equations of the form $i \dot \psi = H_0 \psi + V(t) \psi $ when the time $t \to \infty$. The abstract theorem is applied to several cases, including the cases where (i) $H_0$ is the Laplace operator on a Zoll manifold and $V(t)$ a pseudodifferential operator of order smaller then 2; (ii) $H_0$ is the (resonant or nonresonant) Harmonic oscillator in $R^d$ and $V(t)$ a pseudodifferential operator of order smaller then $H_0$ depending in a quasiperiodic way on time. The proof is obtained by first conjugating the system to some normal form in which the perturbation is a smoothing operator and then applying the results of \cite{MaRo}.

中文翻译：

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抽象线性薛定谔方程的 Sobolev 范数的增长

我们证明了一个抽象定理，给出了 $i \dot \ 形式的线性 Schr\"odinger 方程中 Sobolev 范数增长的 $\langle t\rangle^\epsilon$ 界（$\forall \epsilon>0$） psi = H_0 \psi + V(t) \psi $ 当时间 $t \to \infty$. 抽象定理适用于几种情况，包括 (i) $H_0$ 是 Zoll 上的拉普拉斯算子的情况流形和 $V(t)$ 阶次小于 2 的伪微分算子；(ii) $H_0$ 是 $R^d$ 中的（谐振或非谐振）谐波振荡器，$V(t)$ 是阶次伪微分算子小于 $H_0$ 取决于时间上的准周期方式。通过首先将系统共轭到一些正常形式，其中扰动是一个平滑算子，然后应用 \cite{MaRo} 的结果来获得证明。