For each prime $p$, let $I_p \subset \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ denote a collection of residue classes modulo $p$ such that the cardinalities $|I_p|$ are bounded and about $1$ on average. We show that for sufficiently large $x$, the sifted set $\{ n \in \mathbb{Z}: n \pmod{p} \not \in I_p \hbox{ for all }p \leq x\}$ contains gaps of size at least $x (\log x)^{\delta} $ where $\delta>0$ depends only on the density of primes for which $I_p\ne \emptyset$. This improves on the ``trivial'' bound of $\gg x$. As a consequence, for any non-constant polynomial $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ with positive leading coefficient, the set $\{ n \leq X: f(n) \hbox{ composite}\}$ contains an interval of consecutive integers of length $\ge (\log X) (\log\log X)^{\delta}$ for sufficiently large $X$, where $\delta>0$ depends only on the degree of $f$.

中文翻译：

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筛组中的长间隙

对于每个素数 $p$，让 $I_p \subset \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 表示以 $p$ 为模的残基类的集合，使得基数 $|I_p|$ 是有界的，大约 $1$一般。我们证明，对于足够大的 $x$，筛选集合 $\{ n \in \mathbb{Z}: n \pmod{p} \not \in I_p \hbox{ for all }p \leq x\}$ 包含大小至少为 $x (\log x)^{\delta} $ 的间隙，其中 $\delta>0$ 仅取决于 $I_p\ne \emptyset$ 的素数密度。这改进了 $\gg x$ 的“平凡”界限。因此，对于任何具有正前导系数的非常数多项式 $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$，集合 $\{ n \leq X: f(n) \hbox{ Composite} \}$ 包含长度为 $\ge (\log X) (\log\log X)^{\delta}$ 的连续整数的区间，对于足够大的 $X$，其中 $\delta>0$ 仅取决于$f$ 的度数。