Corrigendum to “Convergence of adaptive, discontinuous Galerkin methods”,Mathematics of Computation

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Corrigendum to “Convergence of adaptive, discontinuous Galerkin methods”
Mathematics of Computation ( IF 2 ) Pub Date : 2020-12-21 , DOI: 10.1090/mcom/3611
Christian Kreuzer , Emmanuil H. Georgoulis

Abstract:The first statement of Lemma 11 in our recent paper [KG18] (Math. Comp. 87 (2018), no. 314, 2611-2640) is incorrect: For the sequence $\{\mathcal {G}_{k}\}_k$ of nested admissible partitions produced by the adaptive discontinuous Galerkin method (ADGM) we have $\mathcal {G}^+\colonequals \bigcup _{k\ge 0}\bigcap _{j\ge k}\mathcal {G}_{j}$ , and $\Omega ^+\colonequals \operatorname {interior}\left (\bigcup \{ E: E\in \mathcal {G}^+\}\right )$ . In the first line of the proof of [KG18, Lemma 11 on p. 2620], we used that

$\displaystyle \vert\Omega \vert=\vert\operatorname {interior}(\Omega \setminus \Omega ^+)\vert+\vert\Omega ^+\vert,$

where $\vert\cdot \vert$ denotes the Lebesgue measure. This, however, is not true in general, since there are counter examples where $\Omega ^+$ is dense in $\Omega$ and

$\displaystyle 0=\vert\operatorname {interior}(\Omega \setminus \Omega ^+)\vert<\vert\Omega \setminus \Omega ^+\vert.$

Below, we present the required minor modifications to complete the proof of the main result stating convergence of the ADGM of [KG18] and address some typos regarding the broken dG-norm. A corrected full version of the article is available at arXiv:1909.12665v2.

[DGK19] A. Dominicus, F. Gaspoz, and C. Kreuzer,
Convergence of an adaptive -interior penalty galerkin method for the biharmonic problem,
1909.12665v2, 2020. Tech.report, Fakultät für Mathematik, TU Dortmund, January 2019, Ergebnisberichte des Instituts für Angewandte Mathematik, Nummer 593.
[KG18]

中文翻译：

“自适应，不连续Galerkin方法的收敛”更正

摘要：我们最近的论文[KG18]（Math。Comp。87（2018），no.314，2611-2640）中的引理11的第一个陈述是不正确的：对于由自适应不连续Galerkin方法产生的嵌套可允许分区的序列（ADGM）我们有，和。在[KG18]证明的第一行中，引号11 p。2620]，我们使用了 $\ {\数学{G} _ {k} \} _ k$ $\ mathcal {G} ^ + \ colonequals \ bigcup _ {k \ ge 0} \ bigcap _ {j \ ge k} \ mathcal {G} _ {j}$ $\ Omega ^ + \ colonequals \ operatorname {interior} \ left（\ bigcup \ {E：E \ in \ mathcal {G} ^ + \} \ right）$

$\ displaystyle \ vert \ Omega \ vert = \ vert \ operatorname {interior}（\ Omega \ setminus \ Omega ^ +）\ vert + \ vert \ Omega ^ + \ vert，$

其中 $\ vert \ cdot \ vert$ 表示勒贝格测度。但是，总的来说，这是不正确的，因为在一些反例 $\ Omega ^ +$ 中 $\ Omega$ ，

$\ displaystyle 0 = \ vert \ operatorname {interior}（\ Omega \ setminus \ Omega ^ +）\ vert <\ vert \ Omega \ setminus \ Omega ^ + \ vert。$

下面，我们提出所需的较小修改，以完成对证明[KG18] ADGM收敛的主要结果的证明，并解决有关dG范式破损的一些错字。可从arXiv：1909.12665v2获得本文的完整版本的更正。

[DGK19] A. Dominicus，F。Gaspoz和C. Kreuzer，针对双谐波问题
的自适应内部惩罚伽勒金方法的收敛性，
1909.12665v2，2020年。Tech.report，FakultätfürMathematik，多特蒙德大学，2019年1月，Ergebnisberichte德昂大学数学研究所（Nummer 593）。
[KG18]

更新日期：2021-01-05

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