We study mapping properties of the centered Hardy--Littlewood maximal operator $\mathcal{M}$ acting on Lorentz spaces $L^{p,q}(\mathfrak{X})$ in the context of certain non-doubling metric measure spaces $\mathfrak{X}$. The special class of spaces for which these properties are very peculiar is introduced and many examples are given. In particular, for each $p_0, q_0, r_0 \in (1, \infty)$ with $r_0 \geq q_0$ we construct a space $\mathfrak{X}$ for which the associated operator $\mathcal{M}$ is bounded from $L^{p_0,q_0}(\mathfrak{X})$ to $L^{p_0,r}(\mathfrak{X})$ if and only if $r \geq r_0$.

中文翻译：

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非双设置中洛伦兹空间的极大算子

我们研究了在某些非倍增度量的上下文中作用于洛伦兹空间 $L^{p,q}(\mathfrak{X})$ 的居中 Hardy--Littlewood 极大算子 $\mathcal{M}$ 的映射性质空格 $\mathfrak{X}$。介绍了具有这些性质的特殊空间类别，并给出了许多例子。特别地，对于每一个 $p_0, q_0, r_0 \in (1, \infty)$ 和 $r_0 \geq q_0$ 我们构造了一个空间 $\mathfrak{X}$ ，关联的算子 $\mathcal{M}$有界从 $L^{p_0,q_0}(\mathfrak{X})$ 到 $L^{p_0,r}(\mathfrak{X})$ 当且仅当 $r \geq r_0$。