In his lost notebook, S. Ramanujan recorded incomplete elliptic integral identities of the first kind. In this paper, we give new proofs to Ramanujan’s incomplete elliptic integrals of the first kind for level 5 using the parameter k(q) = R(q)R²(q²), where R(q) is Rogers-Ramanujan continued fraction. Also, we construct new identities for level 5 similar to ones found in Ramanujan’s work. Further, we prove related identities of level 7, using theta function identities.

中文翻译：

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关于拉马努詹的不完整椭圆积分恒等式

S. Ramanujan在丢失的笔记本中记录了第一类不完整的椭圆积分身份。在本文中，我们使用参数k（q）= R（q）R ²（q ²）给第5级拉曼努詹的第一类不完整椭圆积分提供新的证明，其中R（q）是罗杰斯-拉曼努詹的连续分数。同样，我们为第5级构建新的身份，类似于Ramanujan的工作中发现的身份。此外，我们使用theta函数身份证明了7级的相关身份。