This paper studies visibility problems in Euclidean spaces $\mathbb{R}^d$ where the obstacles are the points of infinite discrete sets $Y\subseteq\mathbb{R}^d$. A point $x\in\mathbb{R}^d$ is called $\varepsilon$-visible for $Y$ (notation: $x\in\mathbf{vis}(Y, \varepsilon))$ if there exists a ray $L\subseteq\mathbb{R}^d$ emanating from $x$ such that $||y-z||\geq\varepsilon$, for all $y\in Y\setminus\{x\}$ and $z\in L$. A point $x\in\mathbb{R}^d$ is called visible for $Y$ (notation: $x\in\mathbf{vis}(Y))$ if $x\in\mathbf{vis}(Y, \varepsilon))$, for some $\varepsilon>0$.\\ Our main result is the following. For every $\varepsilon>0$ and every relatively dense set $Y\subseteq\mathbb{R}^2$, $\mathbf{vis}(Y, \varepsilon))\neq\mathbb{R}^2$. This result generalizes a theorem of Dumitrescu and Jiang, which settled Mitchell's dark forest conjecture. On the other hand, we show that there exists a relatively dense subset $Y\subseteq \mathbb{Z}^d$ such that $\mathbf{vis}(Y)=\mathbb{R}^d$. (One easily verifies that $\mathbf{vis}(\mathbb{Z}^d)=\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{Z}^d$, for all $d\geq 2$). We derive a number of other results clarifying how the size of a sets $Y\subseteq\mathbb{R}^d$ may affect the sets $\mathbf{vis}(Y)$ and $\mathbf{vis}(Y,\varepsilon)$. We present a Ramsey type result concerning uniformly separated subsets of $\mathbb{R}^2$ whose growth is faster than linear.

中文翻译：

---

关于具有无限离散障碍集的可见性问题

本文研究欧几里德空间 $\mathbb{R}^d$ 中的可见性问题，其中障碍物是无限离散集 $Y\subseteq\mathbb{R}^d$ 的点。点 $x\in\mathbb{R}^d$ 被称为 $\varepsilon$-对于 $Y$ 可见（符号：$x\in\mathbf{vis}(Y, \varepsilon))$ 如果存在射线 $L\subseteq\mathbb{R}^d$ 从 $x$ 发出使得 $||yz||\geq\varepsilon$，对于所有的 $y\in Y\setminus\{x\}$ 和 $z \in L$。点 $x\in\mathbb{R}^d$ 对于 $Y$ 被称为可见（符号：$x\in\mathbf{vis}(Y))$ if $x\in\mathbf{vis}(Y , \varepsilon))$, 对于某些 $\varepsilon>0$.\\ 我们的主要结果如下。对于每个 $\varepsilon>0$ 和每个相对密集的集合 $Y\subseteq\mathbb{R}^2$, $\mathbf{vis}(Y, \varepsilon))\neq\mathbb{R}^2$。该结果推广了 Dumitrescu 和 Jiang 的定理，该定理解决了 Mitchell 的黑暗森林猜想。另一方面，我们证明存在一个相对密集的子集 $Y\subseteq \mathbb{Z}^d$，使得 $\mathbf{vis}(Y)=\mathbb{R}^d$。（很容易验证 $\mathbf{vis}(\mathbb{Z}^d)=\mathbb{R}^d\setminus\mathbb{Z}^d$，对于所有 $d\geq 2$）。我们推导出了许多其他结果，阐明了集合 $Y\subseteq\mathbb{R}^d$ 的大小如何影响集合 $\mathbf{vis}(Y)$ 和 $\mathbf{vis}(Y, \varepsilon)$。我们提出了关于 $\mathbb{R}^2$ 的均匀分离子集的 Ramsey 类型结果，其增长速度快于线性。我们推导出了许多其他结果，阐明了集合 $Y\subseteq\mathbb{R}^d$ 的大小如何影响集合 $\mathbf{vis}(Y)$ 和 $\mathbf{vis}(Y, \varepsilon)$。我们提出了关于 $\mathbb{R}^2$ 的均匀分离子集的 Ramsey 类型结果，其增长速度快于线性。我们推导出了许多其他结果，阐明了集合 $Y\subseteq\mathbb{R}^d$ 的大小如何影响集合 $\mathbf{vis}(Y)$ 和 $\mathbf{vis}(Y, \varepsilon)$。我们提出了关于 $\mathbb{R}^2$ 的均匀分离子集的 Ramsey 类型结果，其增长速度快于线性。