This paper intends to apply a new mathematical approach based on Riemann–Liouville fractional–differential operator to the design of fractional-order digital differentiators (FODDs). Under the research area of fractional-order calculus, Grünwald–Letnikov (GL) and Riemann–Liouville (RL) are most widely used fractional–differential operators. The GL-based methods have been extensively investigated by research community to design FODD, but there seems to be an improvement window for designing FIR filters based upon RL fractional–differential operator. Therefore, this paper establishes a generalized framework for the design of RL-based FODD (RL-FODD) and compares its performance with well-established GL-FODD designs, based upon their ability to yield ideal frequency response of FODD. Initially, closed-form analytical expression is formulated for computing FIR filter coefficients of RL-FODD. Then, the design accuracy of proposed filter in the high-frequency region is improved by incorporating non-integer sample delay into the design process. Several design examples are presented to illustrate the comparative analysis between conventional GL-FODD and proposed RL-FODD for varying fractional orders. The proposed method is evaluated, taking into account several amplitude-modulated and harmonic signals corrupted by AWGN and high-frequency chirp noise. Furthermore, the application in parameter estimation of fractional noise process is investigated. Compared with conventional GL-FODD, results of the proposed study validate its superiority and robustness based upon various experimental simulations.

中文翻译：

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使用分数样本延迟插值的基于黎曼-刘维尔的分数阶数字微分器的闭式解析公式

本文旨在将一种基于 Riemann-Liouville 分数阶微分算子的新数学方法应用于分数阶数字微分器 (FODD) 的设计。在分数阶微积分的研究领域，Grünwald-Letnikov (GL) 和 Riemann-Liouville (RL) 是应用最广泛的分数阶微分算子。研究界已经广泛研究了基于 GL 的方法来设计 FODD，但似乎存在用于设计基于 RL 分数微分算子的 FIR 滤波器的改进窗口。因此，本文为基于 RL 的 FODD (RL-FODD) 设计建立了一个通用框架，并根据它们产生理想 FODD 频率响应的能力，将其性能与完善的 GL-FODD 设计进行比较。原来，封闭式解析表达式用于计算 RL-FODD 的 FIR 滤波器系数。然后，通过在设计过程中加入非整数采样延迟，提高了所提出的滤波器在高频区域的设计精度。提出了几个设计示例，以说明传统 GL-FODD 与建议的 RL-FODD 之间针对不同分数阶的比较分析。考虑到被 AWGN 和高频啁啾噪声破坏的几个调幅和谐波信号，对所提出的方法进行了评估。此外，研究了分数噪声过程在参数估计中的应用。与传统的 GL-FODD 相比，所提出的研究结果基于各种实验模拟验证了其优越性和鲁棒性。通过在设计过程中加入非整数采样延迟，提高了所提出的滤波器在高频区域的设计精度。提出了几个设计示例，以说明传统 GL-FODD 与建议的 RL-FODD 之间针对不同分数阶的比较分析。考虑到被 AWGN 和高频啁啾噪声破坏的几个调幅和谐波信号，对所提出的方法进行了评估。此外，研究了分数噪声过程在参数估计中的应用。与传统的 GL-FODD 相比，所提出的研究结果基于各种实验模拟验证了其优越性和鲁棒性。通过在设计过程中加入非整数采样延迟，提高了所提出的滤波器在高频区域的设计精度。提出了几个设计示例，以说明传统 GL-FODD 与建议的 RL-FODD 之间针对不同分数阶的比较分析。考虑到被 AWGN 和高频啁啾噪声破坏的几个调幅和谐波信号，对所提出的方法进行了评估。此外，研究了分数噪声过程在参数估计中的应用。与传统的 GL-FODD 相比，所提出的研究结果基于各种实验模拟验证了其优越性和鲁棒性。提出了几个设计示例，以说明传统 GL-FODD 与建议的 RL-FODD 之间针对不同分数阶的比较分析。考虑到被 AWGN 和高频啁啾噪声破坏的几个调幅和谐波信号，对所提出的方法进行了评估。此外，研究了分数噪声过程在参数估计中的应用。与传统的 GL-FODD 相比，所提出的研究结果基于各种实验模拟验证了其优越性和鲁棒性。提出了几个设计示例，以说明传统 GL-FODD 与建议的 RL-FODD 之间针对不同分数阶的比较分析。考虑到被 AWGN 和高频啁啾噪声破坏的几个调幅和谐波信号，对所提出的方法进行了评估。此外，研究了分数噪声过程在参数估计中的应用。与传统的 GL-FODD 相比，所提出的研究结果基于各种实验模拟验证了其优越性和鲁棒性。考虑到几个被 AWGN 和高频啁啾噪声破坏的调幅和谐波信号。此外，研究了分数噪声过程在参数估计中的应用。与传统的 GL-FODD 相比，所提出的研究结果基于各种实验模拟验证了其优越性和鲁棒性。考虑到几个被 AWGN 和高频啁啾噪声破坏的调幅和谐波信号。此外，研究了分数噪声过程在参数估计中的应用。与传统的 GL-FODD 相比，所提出的研究结果基于各种实验模拟验证了其优越性和鲁棒性。