We study the Cauchy problem for the integrable nonlocal modified Korteweg–deVries (mKdV) equation with a step-like initial data: $q(x,0)=q_0\left(x\right)$, where $q_0\left(x\right)=o\left(1\right)$ as $x\to -\infty$ and $q_0\left(x\right)=A+o\left(1\right)$, as $x\to \infty$, $A>0$. We construct the solution of the nonlocal mKdV equation via the solution of a 2 × 2 matrix Riemann–Hilbert problem in the complex plane. Further, The explicit form of the one-soliton solution in a special case is expressed in terms of the Riemann–Hilbert problem.

中文翻译：

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具步长初始数据的聚焦非局部mKdV方程的Riemann-Hilbert问题

我们用一步步的初始数据研究可积分的非局部修正的Korteweg-deVries（mKdV）方程的柯西问题： $q（X，0）=q_0（X）$，在哪里 $q_0（X）=Ø（\mathrm{1个}）$ 如 $X\to -\infty$ 和 $q_0（X）=\mathrm{一种}+Ø（\mathrm{1个}）$，作为 $X\to \infty$， $\mathrm{一种}>0$。我们通过复平面中2×2矩阵Riemann–Hilbert问题的解来构造非局部mKdV方程的解。此外，在特殊情况下单孤子解的显式形式用黎曼-希尔伯特问题表示。