In this note we investigate the essential normality of the Beurling-type quotient module $${\mathcal {D}}:=H^2(\Omega )\ominus \eta H^2(\Omega )$$ D : = H 2 ( Ω ) ⊖ η H 2 ( Ω ) with an inner function $$\eta $$ η inside $$A(\Omega )$$ A ( Ω ) over an irreducible tube-type domain $$\Omega $$ Ω . For the Lie ball (of rank 2), we characterize the essential normality of the corresponding quotient Hardy module and determine its essential spectrum. For domains of higher rank, we introduce the analogous concept of k -normality and again characterize $$(r-1)$$ ( r - 1 ) -normality in terms of representation theory of the maximal compact subgroup.

中文翻译：

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管型域上 Beurling 型商模的基本正态性

在这篇笔记中，我们研究了 Beurling 型商模块的基本正态性 $${\mathcal {D}}:=H^2(\Omega )\ominus \eta H^2(\Omega )$$ D : = H 2 ( Ω ) ⊖ η H 2 ( Ω ) 内函数 $$\eta $$ η 在 $$A(\Omega )$$ A ( Ω ) 内位于不可约管型域 $$\Omega $$ Ω . 对于 Lie ball（等级 2），我们表征相应商 Hardy 模的基本正态性并确定其基本谱。对于更高秩的域，我们引入了 k -正态性的类似概念，并根据最大紧子群的表示理论再次刻画了 $$(r-1)$$ ( r - 1 ) - 正态性。