We consider a system of $ N \in \mathbb{N} $ mean-field interacting stochastic differential equations that are driven by a single-site potential of double-well form and by Brownian noise. The strength of the noise is measured by a small parameter $ \varepsilon >0$ (which we interpret as the \emph{temperature}), and we suppose that the strength of the interaction is given by $ J>0 $. Choosing the \emph{empirical mean} ($ P:\mathbb{R}^N \rightarrow \mathbb{R} $, $ Px =1/N \sum_i x_i $) as the macroscopic order parameter for the system, we show that the resulting macroscopic Hamiltonian has two global minima, one at $ -m^\star_\varepsilon 0 $. Following this observation, we are interested in the average transition time of the system to $ P^{-1}(m^\star_\varepsilon) $, when the initial configuration is drawn according to a probability measure (the so-called \emph{last-exit distribution}), which is supported around the hyperplane $ P^{-1}(-m^\star_\varepsilon) $. Under the assumption of strong interaction, $ J>1 $, the main result is a formula for this transition time, which is reminiscent of the celebrated Eyring-Kramers formula up to a multiplicative error term that tends to $ 1 $ as $ N \rightarrow \infty $ and $ \varepsilon \rightarrow 0 $. The proof is based on the \emph{potential-theoretic approach to metastability.} In the last chapter we add some estimates on the metastable transition time in the high temperature regime, where $ \varepsilon =1 $, and for a large class of single-site potentials.

中文翻译：

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低温强相互作用下连续平均场模型中的亚稳态

我们考虑一个由 $ N \in \mathbb{N} $ 平均场相互作用随机微分方程组成的系统，这些方程由双阱形式的单点电位和布朗噪声驱动。噪声的强度由一个小参数 $\varepsilon>0$（我们将其解释为 \emph{温度}）来衡量，我们假设相互作用的强度由 $J>0$ 给出。选择 \emph{empirical mean} ($ P:\mathbb{R}^N \rightarrow \mathbb{R} $, $ Px =1/N \sum_i x_i $) 作为系统的宏观阶参数，我们证明由此产生的宏观哈密顿量有两个全局最小值，一个在 $ -m^\star_\varepsilon 0 $。根据这一观察，我们对系统到 $ P^{-1}(m^\star_\varepsilon) $ 的平均过渡时间感兴趣，当根据概率度量（所谓的 \emph{last-exit 分布}）绘制初始配置时，它支持超平面 $ P^{-1}(-m^\star_\varepsilon) $。在强相互作用假设下，$J>1$，主要结果是这个过渡时间的公式，这让人想起著名的 Eyring-Kramers 公式高达乘法误差项，趋于 $1$ 作为 $N\ rightarrow \infty $ 和 $ \varepsilon \rightarrow 0 $。证明基于\emph{亚稳态的势理论方法}。在最后一章中，我们添加了一些对高温状态下的亚稳态转变时间的估计，其中 $ \varepsilon =1 $，并且对于一大类单点电位。它在超平面 $ P^{-1}(-m^\star_\varepsilon) $ 周围得到支持。在强相互作用的假设下，$J>1$，主要结果是这个过渡时间的公式，这让人想起著名的 Eyring-Kramers 公式，乘法误差项趋于 $1$ 作为 $N\ rightarrow \infty $ 和 $ \varepsilon \rightarrow 0 $。证明基于\emph{亚稳态的势理论方法。}在最后一章中，我们添加了一些对高温状态下的亚稳态转变时间的估计，其中 $ \varepsilon =1 $，并且对于一大类单点电位。它在超平面 $ P^{-1}(-m^\star_\varepsilon) $ 周围得到支持。在强相互作用的假设下，$J>1$，主要结果是这个过渡时间的公式，这让人想起著名的 Eyring-Kramers 公式，乘法误差项趋于 $1$ 作为 $N\ rightarrow \infty $ 和 $ \varepsilon \rightarrow 0 $。证明基于\emph{亚稳态的势理论方法。}在最后一章中，我们添加了一些对高温状态下的亚稳态转变时间的估计，其中 $ \varepsilon =1 $，并且对于一大类单点电位。这让人想起著名的 Eyring-Kramers 公式，直到乘法误差项趋于 $ 1 $ 作为 $ N \rightarrow \infty $ 和 $ \varepsilon \rightarrow 0 $。证明基于\emph{亚稳态的势理论方法。}在最后一章中，我们添加了一些对高温状态下的亚稳态转变时间的估计，其中 $ \varepsilon =1 $，并且对于一大类单点电位。这让人想起著名的 Eyring-Kramers 公式，直到乘法误差项趋于 $ 1 $ 作为 $ N \rightarrow \infty $ 和 $ \varepsilon \rightarrow 0 $。证明基于\emph{亚稳态的势理论方法}。在最后一章中，我们添加了一些对高温状态下的亚稳态转变时间的估计，其中 $ \varepsilon =1 $，并且对于一大类单点电位。