For real a > 0, let Xa denote a random variable with the gamma distribution with parameters a and 1. Then P(Xa − a > c) is increasing in a for each real c > 0; non-increasing in a for each real c 6 −1/3; and non-monotonic in a for each c ∈ (−1/3, 0). This extends and/or refines certain previously established results.

中文翻译：

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伽马分布族的单调性

对于实数 a > 0，让 Xa 表示一个具有参数为 a 和 1 的伽马分布的随机变量。然后 P(Xa − a > c) 在 a 中为每个实数 c > 0 增加；对于每个实数 c 6 -1/3，a 不增加；并且对于每个 c ∈ (-1/3, 0) 在 a 中是非单调的。这扩展和/或改进了某些先前确定的结果。