Abstract

In this paper we first consider another version of the Rogosinski inequality for analytic functions \(f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}\) in the unit disk \(|z|<1\), in which we replace the coefficients \(a_{n}\) \((n=0,1,\ldots,N)\) of the power series by the derivatives \(f^{(n)}(z)/n!\) \((n=0,1,\ldots,N)\). Secondly, we obtain improved versions of the classical Bohr inequality and Bohr’s inequality for the harmonic mappings of the form \(f=h+\overline{g}\), where the analytic part \(h\) is bounded by \(1\) and that \(|g^{\prime}(z)|\leq k|h^{\prime}(z)|\) in \(|z|<1\) and for some \(k\in[0,1]\).

中文翻译：

---

有界解析函数的Bohr–Rogosinski不等式

摘要

在本文中，我们首先考虑Rogosinski不等式解析函数的另一个版本\（F（Z）= \ sum_ {N = 0} ^ {\ infty} A_ {N} Z 2 {N} \）在单位圆盘\ （| z | <1 \），其中我们将幂级数 的系数\（a_ {n} \）\（（n = 0,1，\ ldots，N）\）替换为导数\（f ^ {（n）}（z）/ n！\） \（（n = 0,1，\ ldots，N）\）。其次，对于形式为\（f = h + \ overline {g} \）的调和映射，我们获得了经典Bohr不等式和Bohr不等式的改进版本，其中分析部分\（h \）由\（1 \ ）和\（| G ^ {\素}（Z）| \当量K | H ^ {\素}（Z）| \）在\（| Z | <1 \）和一些\（k \ in [0,1] \）。