In this paper, we give an explicit representation and enumeration for negacyclic codes of length $ 2^kn $ over the local non-principal ideal ring $ R = \mathbb{Z}_4+u\mathbb{Z}_4 $ $ (u^2 = 0) $, where $ k, n $ are arbitrary positive integers and $ n $ is odd. In particular, we present all distinct negacyclic codes of length $ 2^k $ over $ R $ precisely. Moreover, we provide an exact mass formula for the number of negacyclic codes of length $ 2^kn $ over $ R $ and correct several mistakes in some literatures.

中文翻译：

---

长度为负的循环代码的显式表示和枚举 \ begin {document} $ 2 ^ kn $ \ end {document} 过度 \ begin {document} $ \ mathbb {Z} _4 + u \ mathbb {Z} _4 $ \ end {document}

在本文中，我们对长度为$ 2 ^ kn $的负循环码在局部非主理想环$ R = \ mathbb {Z} _4 + u \ mathbb {Z} _4 $ $（u ^ 2 = 0）$，其中$ k，n $是任意正整数，而$ n $是奇数。特别是，我们精确地给出了长度在$ R $之上的所有不同的负循环码。此外，我们提供了长度为2 ^ kn $超过$ R $的负循环代码数的精确质量公式，并纠正了一些文献中的一些错误。