For any integer $K\ge 1$, let $s(K)$ be the smallest integer such that when the set of squares of the prime numbers is coloured in K colours, each sufficiently large integer can be written as a sum of no more than $s(K)$ squares of primes, all of the same colour. We show that $s(K)\ll K\exp \left(\frac{(3\log 2+\mathrm{o}(1))\log K}{\log \log K}\right)$ for $K\ge 2$. This upper bound for $s(K)$ is close to optimal and improves on $s(K){\ll }_{ϵ}{K}^{2+ϵ}$, which is the best available upper bound for $s(K)$.

中文翻译：

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整数表示为素数平方的单色和

对于任何整数 $钾\ge 1$， 让 $秒(钾)$是最小的整数，使得当素数的平方集用K种颜色着色时，每个足够大的整数都可以写成不超过$秒(钾)$素数的平方，所有的颜色都一样。我们证明$秒(钾)\ll 钾\mathrm{经验值}\left(\frac{(3\mathrm{日志}2+\mathrm{○}(1))\mathrm{日志}钾}{\mathrm{日志}\mathrm{日志}钾}\right)$ 为了 $钾\ge 2$. 这个上限为$秒(钾)$ 接近最优并改进 $秒(钾){\ll }_{\epsilon }{钾}^{2+\epsilon }$，这是最好的可用上限 $秒(钾)$.