In this study, we obtained generalized Cayley formula, Rodrigues equation and Euler parameters of an orthogonal matrix in 3-dimensional generalized space [Formula: see text]. It is shown that unit generalized quaternion, which is defined by the generalized Euler parameters, corresponds to a rotation in [Formula: see text] space.We found that the rotation in matrix equation forms using matrix form of the generalized quaternion product. Besides, in [Formula: see text] space, we obtained the rotations determined by the unit quaternions and unit split quaternions, which are special cases of generalized quaternions for [Formula: see text] in 3-dimensional Eulidean space [Formula: see text] in 3-dimensional Lorentzian space [Formula: see text] respectively.

中文翻译：

---

3维广义空间中的球面运动学

在这项研究中，我们得到了一个正交矩阵在3维广义空间中的广义凯莱公式、罗德里格斯方程和欧拉参数[公式：见正文]。结果表明，由广义欧拉参数定义的单位广义四元数对应于[公式：见正文]空间中的一个旋转。我们发现，矩阵方程中的旋转是使用广义四元数乘积的矩阵形式形成的。此外，在[公式：见正文]空间中，我们得到了由单位四元数和单位分裂四元数确定的旋转，它们是[公式：见正文]在3维欧里德空间[公式：见正文]中的广义四元数的特例。 ]分别在3维洛伦兹空间[公式：见正文]。