Network expansion problems are a special class of multi-period network design problems in which arcs can be opened gradually in different time periods but can never be closed. Motivated by practical applications, we focus on cases where demand between origin-destination pairs expands over a discrete time horizon. Arc opening decisions are taken in every period, and once an arc is opened it can be used throughout the remaining horizon to route several commodities. Our model captures a key timing trade-off: the earlier an arc is opened, the more periods it can be used for, but its fixed cost is higher, since it accounts not only for construction but also for maintenance over the remaining horizon. An overview of practical applications indicates that this trade-off is relevant in various settings. For the capacitated variant, we develop an arc-based Lagrange relaxation, combined with local improvement heuristics. For uncapacitated problems, we develop four Benders decomposition formulations and show how taking advantage of the problem structure leads to enhanced algorithmic performance. We then utilize real-world and artificial networks to generate 1080 instances, with which we conduct a computational study. Our results demonstrate the efficiency of our algorithms. Notably, for uncapacitated problems we are able to solve instances with 2.5 million variables to optimality in less than two hours of computing time. Finally, we provide insights into how instance characteristics influence the multi-period structure of solutions.

网络扩展问题是一类特殊的多周期网络设计问题，其中电弧可以在不同的时间段逐渐打开，但永远不会关闭。受实际应用的启发，我们关注始发地对之间的需求在离散时间范围内扩展的情况。在每个时期都会做出开弧决策，一旦开弧，就可以在剩余的视线范围内使用它来路由几种商品。我们的模型捕获了一个关键的时间折衷：弧线越早打开，它可以使用的周期就越多，但是其固定成本更高，因为它不仅考虑了结构而且还考虑了剩余时间范围内的维护。实际应用的概述表明，这种折衷与各种设置有关。对于功能强大的变体，我们开发了基于弧的拉格朗日松弛法，并结合了局部改进的启发式方法。对于无能力的问题，我们开发了四种Benders分解公式，并展示了如何利用问题结构来提高算法性能。然后，我们利用现实世界和人工网络生成1080个实例，并以此进行计算研究。我们的结果证明了我们算法的效率。值得注意的是，对于能力丧失的问题，我们能够在不到两个小时的计算时间内将具有250万个变量的实例求解为最优。最后，我们提供了有关实例特征如何影响解决方案的多周期结构的见解。我们开发了四种Benders分解公式，并展示了如何利用问题结构来提高算法性能。然后，我们利用现实世界和人工网络生成1080个实例，并以此进行计算研究。我们的结果证明了我们算法的效率。值得注意的是，对于能力丧失的问题，我们能够在不到两个小时的计算时间内将具有250万个变量的实例求解为最优。最后，我们提供了有关实例特征如何影响解决方案的多周期结构的见解。我们开发了四种Benders分解公式，并展示了如何利用问题结构来提高算法性能。然后，我们利用现实世界和人工网络生成1080个实例，并以此进行计算研究。我们的结果证明了我们算法的效率。值得注意的是，对于能力丧失的问题，我们能够在不到两个小时的计算时间内将具有250万个变量的实例求解为最优。最后，我们提供了有关实例特征如何影响解决方案的多周期结构的见解。我们的结果证明了我们算法的效率。值得注意的是，对于能力丧失的问题，我们能够在不到两个小时的计算时间内将具有250万个变量的实例求解为最优。最后，我们提供了有关实例特征如何影响解决方案的多周期结构的见解。我们的结果证明了我们算法的效率。值得注意的是，对于能力丧失的问题，我们能够在不到两个小时的计算时间内将具有250万个变量的实例求解为最优。最后，我们提供了有关实例特征如何影响解决方案的多周期结构的见解。