Let $(Z,\kappa)$ be a Walsh Brownian motion with spinning measure $\kappa$. Suppose $\mu$ is a probability measure on $\mathbb{R}^n$. We characterize all the $\kappa$ such that $\mu$ is a stopping distribution of $(Z,\kappa)$. If we further restrict the solution to be integrable, we show that there would be only one choice of $\kappa$. We also generalize Vallois' embedding, and prove that it minimizes the expectation $\mathbb{E}[\Psi(L^Z_{\tau})]$ among all the admissible solutions $\tau$, where $\Psi$ is a strictly convex function and $(L_t^Z)_{t \geq 0}$ is the local time of the Walsh Brownian motion at the origin.

中文翻译：

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沃尔什布朗运动的嵌入

令 $(Z,\kappa)$ 是一个具有自旋测度 $\kappa$ 的沃尔什布朗运动。假设 $\mu$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的概率测度。我们刻画所有 $\kappa$ 使得 $\mu$ 是 $(Z,\kappa)$ 的停止分布。如果我们进一步限制解是可积的，我们将证明 $\kappa$ 只有一种选择。我们还概括了 Vallois 的嵌入，并证明它最小化了所有可容许解 $\tau$ 中的期望 $\mathbb{E}[\Psi(L^Z_{\tau})]$，其中 $\Psi$ 是一个严格的凸函数，$(L_t^Z)_{t \geq 0}$ 是原点处沃尔什布朗运动的本地时间。