The aim of this paper is to present several properties of the nonnegative weak solutions to a class of very singular equations whose prototype is $u_t=\text{div}\left(u^{m-1}{\left|Du\right|}^{p-2}Du\right),p>1\mathrm{and}3-p<m+p<2.$Namely, we prove $L_{\mathrm{loc}}^r$ and $L_{\mathrm{loc}}^r-L_{\mathrm{loc}}^{\infty }$ estimates and Harnack estimates. Note that $3-p=m+p$ is a critical value: under this threshold the energy estimates hold with a reverse sign.

中文翻译：

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一类双重非线性非常奇异抛物方程的正则性结果

本文的目的是介绍一类非常奇异方程的非负弱解的一些性质，其原型为 ${ü}_{Ť}=\text{div}（{ü}^{米-\mathrm{1个}}{\left|dü\right|}^{p-2}dü），p>\mathrm{1个}\mathrm{和}3-p<米+p<2。$即，我们证明 ${\mathrm{大号}}_{\mathrm{位置}}^{\mathrm{[R}}$ 和 ${\mathrm{大号}}_{\mathrm{位置}}^{\mathrm{[R}}-{\mathrm{大号}}_{\mathrm{位置}}^{\infty }$估计和Harnack估计。注意$3-p=米+p$ 是一个临界值：在此阈值下，能量估算值带有一个反向符号。