In this study, we propose a method for extracting the hidden algebraic structures of model parameters that are uniquely determined by observed time-series data and unidentifiable state-space models, explicitly and exhaustively. State-space models are often constructed based on the domain, for example, physical or biological. Such models include parameters that are assigned specific meanings in relation to the system under consideration, which is examined by estimating the parameters using the corresponding data. As the parameters of unidentifiable models cannot be uniquely determined from the given data, it is difficult to examine the systems described by such models. To overcome this difficulty, multiple possible sets of parameters are estimated and analysed in the exiting approaches; however, in general, all the possible parameters cannot be explored; therefore, considerations on the system using the estimated parameters become insufficient. In this study, focusing on certain structures determined by the observed data and models uniquely, even if they are unidentifiable, we introduce the concept of parameter variety. This is newly defined and proven to form algebraic varieties, in general. A computational algebraic method that relies on the Groebner basis for deriving the explicit representation of the varieties is presented along with the supporting theory. Furthermore, its application in the analysis of a model that describes virus dynamics is presented. With this, new insight on the dynamics overlooked by the conventional approach are discovered, confirming the applicability of our idea and the proposed method.

中文翻译：

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基于Groebner基础的无法确定的状态空间模型和时间序列数据确定的隐藏结构的估计方法

在这项研究中，我们提出了一种提取模型参数的隐式代数结构的方法，该方法由观察到的时间序列数据和无法识别的状态空间模型唯一，明确而详尽地确定。状态空间模型通常是基于域（例如物理域或生物学域）构建的。这样的模型包括相对于所考虑的系统分配有特定含义的参数，可以通过使用相应数据估算参数来检查这些参数。由于无法从给定数据中唯一确定无法识别模型的参数，因此很难检查此类模型描述的系统。为了克服这个困难，在现有方法中估计并分析了多个可能的参数集。但是，总的来说，无法探索所有可能的参数；因此，对使用估计参数的系统的考虑变得不足。在这项研究中，着重于由观察到的数据和模型唯一确定的某些结构，即使它们无法识别，我们也引入了参数变化的概念。通常，这是新定义的，并证明可以形成代数变体。提出了一种基于Groebner基础的计算代数方法，并推导了支持理论。此外，还介绍了其在描述病毒动态模型的分析中的应用。由此，发现了对传统方法所忽略的动力学的新见解，从而证实了我们的思想和提出的方法的适用性。使用估计参数对系统的考虑变得不足。在这项研究中，着重于由观察到的数据和模型唯一确定的某些结构，即使它们无法识别，我们也引入了参数变化的概念。通常，这是新定义的，并证明可以形成代数变体。提出了一种基于Groebner基础的计算代数方法，并推导了支持理论。此外，还介绍了其在描述病毒动态模型的分析中的应用。由此，发现了对传统方法所忽略的动力学的新见解，从而证实了我们的思想和提出的方法的适用性。使用估计参数对系统的考虑变得不足。在这项研究中，着重于由观察到的数据和模型唯一确定的某些结构，即使它们无法识别，我们也引入了参数变化的概念。通常，这是新定义的，并证明可以形成代数变体。提出了一种基于Groebner基础的计算代数方法，并推导了支持理论。此外，还介绍了其在描述病毒动态模型的分析中的应用。由此，发现了对传统方法所忽略的动力学的新见解，从而证实了我们的思想和提出的方法的适用性。我们将重点放在由观察到的数据和模型唯一确定的某些结构上，即使它们无法识别，我们也会引入参数变化的概念。通常，这是新定义的，并证明可以形成代数变体。提出了一种基于Groebner基础的计算代数方法，并推导了支持理论。此外，还介绍了其在描述病毒动态模型的分析中的应用。由此，发现了对传统方法所忽略的动力学的新见解，从而证实了我们的思想和提出的方法的适用性。我们将重点放在由观察到的数据和模型唯一确定的某些结构上，即使它们无法识别，我们也会引入参数变化的概念。通常，这是新定义的，并证明可以形成代数变体。提出了一种基于Groebner基础的计算代数方法，并推导了支持理论。此外，还介绍了其在描述病毒动态模型的分析中的应用。由此，发现了对传统方法所忽略的动力学的新见解，从而证实了我们的思想和提出的方法的适用性。通常，这是新定义的，并证明可以形成代数变体。提出了一种基于Groebner基础的计算代数方法，并推导了支持理论。此外，还介绍了其在描述病毒动态模型的分析中的应用。由此，发现了对传统方法所忽略的动力学的新见解，从而证实了我们的思想和提出的方法的适用性。通常，这是新定义的，并证明可以形成代数变体。提出了一种基于Groebner基础的计算代数方法，并推导了支持理论。此外，还介绍了其在描述病毒动态模型的分析中的应用。由此，发现了对传统方法所忽略的动力学的新见解，从而证实了我们的思想和提出的方法的适用性。