Let $\mathbb{N}$ be the set of all nonnegative integers. For $S\subseteq \mathbb{N}$ and $n\in \mathbb{N}$, let $R_S\left(n\right)$ denote the number of solutions of the equation $n=s+s^{\prime }$, $s,s^{\prime }\in S$, $s<s^{\prime }$. In this paper, we prove that if $m$ and $r$ are two integers with $m\ge 2$ and $r\ge 0$, $A$ and $B$ are two sets with $A\cup B=\mathbb{N}$ and $A\cap B=\{r+mk:k\in \mathbb{N}\}$ such that $R_A\left(n\right)=R_B\left(n\right)$ for all positive integers $n$, then $r=2^{2l}-1$ and $m=2^{2l+1}-1$ for some positive integer $l$. This solves a problem posed by the second author and Lev in 2016.

中文翻译：

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具有相同表示函数的整数集，II

让 $\mathbb{ñ}$是所有非负整数的集合。对于$\mathrm{小号}\subseteq \mathbb{ñ}$ 和 $ñ\in \mathbb{ñ}$，让 ${\mathrm{[R}}_{\mathrm{小号}}（ñ）$ 表示方程的解数 $ñ=s+s^{\prime }$， $s，s^{\prime }\in \mathrm{小号}$， $s<s^{\prime }$。在本文中，我们证明$米$ 和 $\mathrm{[R}$ 是两个整数 $米\ge 2$ 和 $\mathrm{[R}\ge 0$， $\mathrm{一种}$ 和 $乙$ 有两套 $\mathrm{一种}\cup 乙=\mathbb{ñ}$ 和 $\mathrm{一种}\cap 乙=\{\mathrm{[R}+米ķ：ķ\in \mathbb{ñ}\}$ 这样 ${\mathrm{[R}}_{\mathrm{一种}}（ñ）={\mathrm{[R}}_{乙}（ñ）$ 对于所有正整数 $ñ$， 然后 $\mathrm{[R}=2^{2升}-\mathrm{1个}$ 和 $米=2^{2升+\mathrm{1个}}-\mathrm{1个}$ 对于一些正整数 $升$。这解决了第二作者和列夫（Lev）在2016年提出的问题。