Consider the hyperelliptic curves $C_a:y^2=x^5+ax$ defined over $\mathbb{Q}$, and their Jacobians $J_a$. Without loss of generality a is a non-zero 8th power free integer. Our aim is to obtain upper bounds for $r_a:=\mathrm{rank}{J}_a(\mathbb{Q})$. In particular, we would like to find infinite subfamily of $J_a$ with rank 0. We show that under certain assumptions on the quartic field $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{-a})$, $r_a\le \omega (2a)+1$ (if $a>0$), and $r_a\le \omega (2a)+2$ (if $a<0$) where $\omega \left(m\right)$ is the number of distinct prime divisors of m. We also generalize this result to the ranks of the Jacobians of $y^2=x(x^n+a)$. Moreover, we prove that if $p\equiv 3(\mathrm{mod}8)$ is a prime then $r_p,r_{-p}\le 1$, $r_{-2p}\le 2$, and if $p\equiv 11,19(\mathrm{mod}32)$ then $r_p=0$, and consequently $C_p(\mathbb{Q})=\{\infty ,(0,0)\}$ for such primes. We also make numerical computations of ranks and rational points, and put a few conjectures.

考虑超椭圆曲线 $C_{\mathrm{一种}}：{ÿ}^2=X^5+\mathrm{一种}X$ 定义结束 $\mathbb{问}$和他们的雅各布主义者 ${Ĵ}_{\mathrm{一种}}$。在不失一般性的前提下，a是一个非零的8次幂无整数。我们的目标是为${\mathrm{[R}}_{\mathrm{一种}}：=\mathrm{秩}{Ĵ}_{\mathrm{一种}}（\mathbb{问}）$。特别是，我们想找到的无限亚科${Ĵ}_{\mathrm{一种}}$ 等级为0。我们证明在某些假设下对四次场 $\mathbb{问}（\sqrt[4]{-\mathrm{一种}}）$， ${\mathrm{[R}}_{\mathrm{一种}}\le \omega （2\mathrm{一种}）+\mathrm{1个}$ （如果 $\mathrm{一种}>0$），以及 ${\mathrm{[R}}_{\mathrm{一种}}\le \omega （2\mathrm{一种}）+2$ （如果 $\mathrm{一种}<0$）哪里 $\omega （米）$是m的不同素数除数的数量。我们还将这个结果推广到${ÿ}^2=X（X^{ñ}+\mathrm{一种}）$。此外，我们证明$p\equiv 3（\mathrm{模}8）$ 那是素数 ${\mathrm{[R}}_p，{\mathrm{[R}}_{-p}\le \mathrm{1个}$， ${\mathrm{[R}}_{-2p}\le 2$， 而如果 $p\equiv 11，19（\mathrm{模}32）$ 然后 ${\mathrm{[R}}_p=0$， 因此 $C_p（\mathbb{问}）=\{\infty ，（0，0）\}$对于这样的素数。我们还对等级和有理点进行了数值计算，并提出了一些猜想。