We set up the sharp Trudinger–Moser inequality under arbitrary norms. Using this result and the $L_{p}$ Busemann-Petty centroid inequality, we will provide a new proof to the sharp affine Trudinger–Moser inequalities without using the well-known affine Pólya–Szegö inequality.

中文翻译：

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Sharp affine Trudinger-Moser 不等式：一个新的论证

我们在任意规范下建立了尖锐的 Trudinger-Moser 不等式。使用这个结果和 $L_{p}$ Busemann-Petty 质心不等式，我们将在不使用众所周知的仿射 Pólya-Szegö 不等式的情况下，为尖锐的仿射 Trudinger-Moser 不等式提供新的证明。