We study the k-Galois linear complementary dual (LCD) codes over the finite chain ring $R=\mathbb {F}_q+u\mathbb {F}_q$ with $u^2=0$ , where $q=p^e$ and p is a prime number. We give a sufficient condition on the generator matrix for the existence of k-Galois LCD codes over R. Finally, we show that a linear code over R (for $k=0, q> 3$ ) is equivalent to a Euclidean LCD code, and a linear code over R (for $0<k<e$ , $(p^{e-k}+1)\mid (p^e-1)$ and ${(p^e-1)}/{(p^{e-k}+1)}>1$ ) is equivalent to a k-Galois LCD code.

中文翻译：

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关于环上 k-GALOIS LCD 代码的说明

我们研究ķ-有限链环上的伽罗瓦线性互补对偶（LCD）码 $R=\mathbb {F}_q+u\mathbb {F}_q$ 和 $u^2=0$ ， 在哪里 $q=p^e$ 和p是一个素数。我们给出了生成矩阵存在的充分条件ķ-Galois LCD 代码结束R. 最后，我们证明了一个线性码R（为了 $k=0, q> 3$ ) 等价于欧几里得 LCD 码，而线性码在R（为了 $0<k<e$ , $(p^{ek}+1)\mid (p^e-1)$ 和 ${(p^e-1)}/{(p^{ek}+1)}>1$ ) 等价于ķ-伽罗瓦 LCD 代码。