Anomalous diffusion phenomena are observed in many areas of interest. They manifest themselves in deviations from the laws of Brownian motion (BM), e.g. in the non-linear growth (mostly power-law) in time of the ensemble average mean squared displacement (MSD). When we analyze the real-life data in the context of anomalous diffusion, the primary problem is the proper identification of the type of the anomaly. In this paper, we introduce a new statistic, called empirical anomaly measure (EAM), that can be useful for this purpose. This statistic is the sum of the off-diagonal elements of the sample autocovariance matrix for the increments process. On the other hand, it can be represented as the convolution of the empirical autocovariance function with time lags. The idea of the EAM is intuitive. It measures dependence between the ensemble-averaged MSD of a given process from the ensemble-averaged MSD of the classical BM. Thus, it can be used to measure the distance between the anomalous diffusion process and normal diffusion. In this article, we prove the main probabilistic characteristics of the EAM statistic and construct the formal test for the recognition of the anomaly type. The advantage of the EAM is the fact that it can be applied to any data trajectories without the model specification. The only assumption is the stationarity of the increments process. The complementary summary of the paper constitutes of Monte Carlo simulations illustrating the effectiveness of the proposed test and properties of EAM for selected processes.

在许多感兴趣的领域中观察到异常扩散现象。它们表现出与布朗运动定律的偏离，例如整体平均均方位移（MSD）的非线性增长（主要是幂定律）。当我们在异常扩散的背景下分析现实生活中的数据时，主要问题是对异常类型的正确识别。在本文中，我们介绍了一种新的统计数据，称为经验异常度量（EAM），可用于此目的。该统计量是增量过程中样本自协方差矩阵的非对角线元素的总和。另一方面，它可以表示为经验自协方差函数随时间的卷积。EAM的想法很直观。它测量了给定过程的整体平均MSD与经典BM的整体平均MSD之间的依赖性。因此，它可以用来测量异常扩散过程和正常扩散之间的距离。在本文中，我们证明了EAM统计数据的主要概率特征，并构造了用于识别异常类型的形式化测试。EAM的优势在于无需模型说明即可将其应用于任何数据轨迹。唯一的假设是增量过程的平稳性。本文的补充摘要由蒙特卡洛模拟组成，这些模拟说明了所提出的测试的有效性以及所选过程的EAM特性。它可以用来测量异常扩散过程和正常扩散之间的距离。在本文中，我们证明了EAM统计数据的主要概率特征，并构造了用于识别异常类型的形式化测试。EAM的优势在于无需模型说明即可将其应用于任何数据轨迹。唯一的假设是增量过程的平稳性。本文的补充摘要由蒙特卡洛模拟组成，这些模拟说明了所提出的测试的有效性以及所选过程的EAM特性。它可以用来测量异常扩散过程和正常扩散之间的距离。在本文中，我们证明了EAM统计数据的主要概率特征，并构造了用于识别异常类型的形式化测试。EAM的优势在于无需模型说明即可将其应用于任何数据轨迹。唯一的假设是增量过程的平稳性。本文的补充摘要由蒙特卡洛模拟组成，这些模拟说明了所提出的测试的有效性以及所选过程的EAM特性。EAM的优势在于无需模型说明即可将其应用于任何数据轨迹。唯一的假设是增量过程的平稳性。本文的补充摘要由蒙特卡洛模拟组成，这些模拟说明了所提出的测试的有效性以及所选过程的EAM特性。EAM的优势在于无需模型说明即可将其应用于任何数据轨迹。唯一的假设是增量过程的平稳性。本文的补充摘要由蒙特卡洛模拟组成，这些模拟说明了所提出的测试的有效性以及所选过程的EAM特性。