In this paper, we study a single-valued integration pairing between differential forms and dual differential forms which subsumes some classical constructions in mathematics and physics. It can be interpreted as a p -adic period pairing at the infinite prime. The single-valued integration pairing is defined by transporting the action of complex conjugation from singular to de Rham cohomology via the comparison isomorphism. We show how quite general families of period integrals admit canonical single-valued versions and prove some general formulae for them. This implies an elementary “double copy” formula expressing certain singular volume integrals over the complex points of a smooth projective variety as a quadratic expression in ordinary period integrals of half the dimension. We provide several examples, including non-holomorphic modular forms, archimedean Néron–Tate heights on curves, single-valued multiple zeta values and polylogarithms. The results of the present paper are used in [F. Brown and C. Dupont, Single-valued integration and superstring amplitudes in genus zero, preprint 2019, https://arxiv.org/abs/1910.01107] to prove a recent conjecture of Stieberger which relates the coefficients in a Laurent expansion of two different kinds of periods of twisted cohomology on the moduli spaces of curves ℳ0,n{\mathcal{M}_{0,n}} of genus zero with n marked points. We also study a morphism between certain rings of “motivic” periods, called the de Rham projection, which provides a bridge between complex periods and single-valued periods in many situations of interest.

中文翻译：

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单值积分和双拷贝

在本文中，我们研究了包含数学和物理中一些经典构造的微分形式和对偶微分形式之间的单值积分对。它可以解释为无限素数处的ap -adic 周期配对。单值积分配对的定义是通过比较同构将复共轭作用从单数传递到 de Rham 上同调。我们展示了相当一般的周期积分族如何接受规范的单值​​版本并证明它们的一些通用公式。这意味着一个基本的“双重复制”公式，将平滑射影变体的复点上的某些奇异体积积分表示为半维的普通周期积分中的二次表达式。我们提供了几个例子，包括非全纯模形式，曲线上的阿基米德 Néron-Tate 高度、单值多 zeta 值和多对数。本文的结果用于 [F. Brown和C. Dupont，零值类中的单值积分和超串幅度，预印本2019，https：//arxiv.org/abs/1910.01107]证明了Stieberger的最新猜想，该猜想与两个不同的Laurent展开中的系数相关在具有 n 个标记点的属零曲线 ℳ0,n{\mathcal{M}_{0,n}} 的模空间上的各种扭曲上同调周期。我们还研究了某些“动机”周期环之间的态射，称为 de Rham 投影，它在许多感兴趣的情况下提供了复杂周期和单值周期之间的桥梁。本文的结果用于 [F. Brown和C. Dupont，零值类中的单值积分和超串幅度，预印本2019，https：//arxiv.org/abs/1910.01107]证明了Stieberger的最新猜想，该猜想与两个不同的Laurent展开中的系数相关带有零个n个标记点的类零的曲线ℳ0，n {\ mathcal {M} _ {0，n}}的模空间上的扭曲同调的各种周期。我们还研究了某些“动机”周期环之间的态射，称为 de Rham 投影，它在许多感兴趣的情况下提供了复杂周期和单值周期之间的桥梁。本文的结果用于[F. Brown 和 C. Dupont，零属中的单值积分和超弦振幅，预印本 2019，https://arxiv.org/abs/1910.01107] 以证明 Stieberger 最近的猜想，该猜想将两个不同的 Laurent 展开中的系数联系起来在具有 n 个标记点的属零曲线 ℳ0,n{\mathcal{M}_{0,n}} 的模空间上的各种扭曲上同调周期。我们还研究了某些“动机”周期环之间的态射，称为 de Rham 投影，它在许多感兴趣的情况下提供了复杂周期和单值周期之间的桥梁。01107] 证明 Stieberger 最近的一个猜想，该猜想将曲线 ℳ0,n{\mathcal{M}_{0,n}} 的模空间上两种不同类型的扭曲上同调周期的 Laurent 展开系数相关零与 n 个标记点。我们还研究了某些“动机”周期环之间的态射，称为 de Rham 投影，它在许多感兴趣的情况下提供了复杂周期和单值周期之间的桥梁。01107] 证明 Stieberger 最近的一个猜想，该猜想将曲线 ℳ0,n{\mathcal{M}_{0,n}} 的模空间上两种不同类型的扭曲上同调周期的 Laurent 展开系数相关零，带有n个标记点。我们还研究了某些“动机”周期环之间的态射，称为 de Rham 投影，它在许多感兴趣的情况下提供了复杂周期和单值周期之间的桥梁。