An $r$-uniform hypergraph is linear if every two edges intersect in at most one vertex. Given a family of $r$-uniform hypergraphs $\mathcal{F}$, the linear Turán number ex${}_r^{lin}(n,\mathcal{F})$ is the maximum number of edges of a linear $r$-uniform hypergraph on $n$ vertices that does not contain any member of $\mathcal{F}$ as a subhypergraph.

Given a graph $F$ and a positive integer $r\ge 2$, the $r$-expansion of $F$ is the $r$-graph $F^{+}$ obtained from $F$ by enlarging each edge of $F$ with $r-2$ new vertices disjoint from $V\left(F\right)$ such that distinct edges of $F$ are enlarged by distinct vertices. For $t\ge s\ge 2$, we prove the following extension of Kővári–Sós–Turán’s theorem $e{x}_r^{lin}(n,K_{s,t}^{+})\le \frac{{(t-1)}^{\frac{1}{s}}}{r(r-1)}\cdot n^{2-\frac{1}{s}}+O\left(n^{2-\frac{2}{s}}\right).$ Specially, for $s=2$, $r=3$, we prove that $e{x}_3^{lin}(n,K_{2,t}^{+})=\left(1+o_t\left(1\right)\right)\frac{1}{6}\sqrt{t-1}\cdot n^{3∕2},$ which is an improvement of Gerbner, Methuku and Vizer’s result (Gerbner et al., 2019). Moreover, we also prove some sharp bounds for the linear Turán number of $K_{s,t}^{+}$.

一个 $\mathrm{[R}$如果每两个边缘最多相交一个顶点，则均匀超图是线性的。给定一个家庭$\mathrm{[R}$-一致超图 $\mathcal{F}$，线性图兰数ex${}_{\mathrm{[R}}^{升\mathrm{一世}ñ}（ñ，\mathcal{F}）$ 是线性的最大边数 $\mathrm{[R}$一致超图 $ñ$ 不包含的任何成员的顶点 $\mathcal{F}$ 作为超图。

给定图 $F$ 和一个正整数 $\mathrm{[R}\ge 2$， $\mathrm{[R}$-扩展 $F$ 是个 $\mathrm{[R}$-图形 $F^{+}$ 从...获取 $F$ 通过扩大每个边缘 $F$ 与 $\mathrm{[R}-2$ 新顶点不相交 $V（F）$ 这样 $F$被不同的顶点放大。对于$Ť\ge s\ge 2$，我们证明了Kővári–Sós–Turán定理的以下扩展 $ËX_{\mathrm{[R}}^{升\mathrm{一世}ñ}（ñ，{ķ}_{s，Ť}^{+}）\le \frac{{（Ť-\mathrm{1个}）}^{\frac{\mathrm{1个}}{s}}}{\mathrm{[R}（\mathrm{[R}-\mathrm{1个}）}\cdot {ñ}^{2-\frac{\mathrm{1个}}{s}}+Ø（{ñ}^{2-\frac{2}{s}}）。$ 特别是 $s=2$， $\mathrm{[R}=3$，我们证明 $ËX_3^{升\mathrm{一世}ñ}（ñ，{ķ}_{2，Ť}^{+}）=\left(\mathrm{1个}+{Ø}_{Ť}（\mathrm{1个}）\right)\frac{\mathrm{1个}}{6}\sqrt{Ť-\mathrm{1个}}\cdot {ñ}^{3∕2}，$这是Gerbner，Methuku和Vizer结果的改进（Gerbner et al。，2019）。此外，我们还证明了线性图兰数的一些尖锐边界${ķ}_{s，Ť}^{+}$。