Given a vector bundle $A\to M$ we study the geometry of the graded manifolds $T^*[k]A[1]$, including their canonical symplectic structures, compatible Q-structures and Lagrangian Q-submanifolds. We relate these graded objects to classical structures, such as higher Courant algebroids on $A\oplus\bigwedge^{k-1}A^*$ and higher Dirac structures therein, semi-direct products of Lie algebroid structures on $A$ with their coadjoint representations up to homotopy, and branes on certain AKSZ $\sigma$-models.

中文翻译：

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分级余切丛的几何

给定向量丛 $A\to M$，我们研究分级流形 $T^*[k]A[1]$ 的几何形状，包括它们的典型辛结构、兼容 Q 结构和拉格朗日 Q 子流形。我们将这些分级对象与经典结构相关联，例如 $A\oplus\bigwedge^{k-1}A^*$ 上的更高 Courant 代数体和其中的更高 Dirac 结构，$A$ 上的 Lie 代数体结构的半直积与他们的coadjoint表示达到同伦，以及某些AKSZ $\sigma $-模型上的膜。