In this paper, we consider a normal branch of the DGP cosmological model with a quintessence scalar field on the brane as the dark energy component. Using the dynamical system approach, we study the stability properties of the model. We find that [Formula: see text], as one of our new dimensionless variables which is defined in terms of the quintessence potential, has a crucial role in the history of the universe. We divide our discussion into two parts: a constant [Formula: see text] and a varying [Formula: see text]. In the case of a constant [Formula: see text] we calculate all the critical points of the model even those at infinity and then assume all of them as instantaneous critical points in the varying [Formula: see text] situation which is the main part of this paper. We find that the effect of the extra dimension in such a model is independent of the value of [Formula: see text]. Then, we consider a Gaussian potential for which [Formula: see text] is not constant but varies from zero to infinity. We discuss the evolution of the dynamical variables of the model and conclude that their asymptotic behaviors follow the trajectories of the moving critical points. Also, we find two different possible fates for the universe. In one of them, it could experience an accelerated expansion, but then enters a decelerating phase and finally reaches a stable matter-dominated solution. In the other scenario, the universe could approach the matter-dominated critical point without experiencing any accelerated expansion. We argue that the first scenario is more compatible with observations.

中文翻译：

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具有典型场的膜诱导重力在具有高斯势的膜上的稳定性分析

在本文中，我们考虑了 DGP 宇宙学模型的一个正常分支，其膜上有一个典型的标量场作为暗能量分量。使用动力系统方法，我们研究了模型的稳定性特性。我们发现[公式：见正文]作为我们新的无量纲变量之一，它以精髓势的形式定义，在宇宙的历史中起着至关重要的作用。我们将讨论分为两部分：一个常数[公式：见文本]和一个变化的[公式：见文本]。在常数[公式：见文本]的情况下，我们计算模型的所有临界点，即使是那些在无穷远处的临界点，然后假设它们都是在变化的[公式：见文本]情况下的瞬时临界点，这是主要部分本文的。我们发现这种模型中额外维度的影响与[公式：见正文]的值无关。然后，我们考虑一个高斯势，其中 [公式：见文本] 不是恒定的，而是从零变化到无穷大。我们讨论了模型动态变量的演变，并得出结论，它们的渐近行为遵循移动临界点的轨迹。此外，我们发现宇宙有两种不同的可能命运。在其中一个中，它可能会经历一个加速膨胀，然后进入一个减速阶段，最终达到一个稳定的物质主导解。在另一种情况下，宇宙可以在不经历任何加速膨胀的情况下接近物质主导的临界点。我们认为第一种情况更符合观察结果。见正文]。然后，我们考虑一个高斯势，其中 [公式：见文本] 不是恒定的，而是从零变化到无穷大。我们讨论了模型动态变量的演变，并得出结论，它们的渐近行为遵循移动临界点的轨迹。此外，我们发现宇宙有两种不同的可能命运。在其中一个中，它可能会经历一个加速膨胀，然后进入一个减速阶段，最终达到一个稳定的物质主导解。在另一种情况下，宇宙可以在不经历任何加速膨胀的情况下接近物质主导的临界点。我们认为第一种情况更符合观察结果。见正文]。然后，我们考虑一个高斯势，其中 [公式：见文本] 不是恒定的，而是从零变化到无穷大。我们讨论了模型动态变量的演变，并得出结论，它们的渐近行为遵循移动临界点的轨迹。此外，我们发现宇宙有两种不同的可能命运。在其中一个中，它可能会经历一个加速膨胀，然后进入一个减速阶段，最终达到一个稳定的物质主导解。在另一种情况下，宇宙可以在不经历任何加速膨胀的情况下接近物质主导的临界点。我们认为第一种情况更符合观察结果。我们讨论了模型动态变量的演变，并得出结论，它们的渐近行为遵循移动临界点的轨迹。此外，我们发现宇宙有两种不同的可能命运。在其中一个中，它可能会经历一个加速膨胀，然后进入一个减速阶段，最终达到一个稳定的物质主导解。在另一种情况下，宇宙可以在不经历任何加速膨胀的情况下接近物质主导的临界点。我们认为第一种情况更符合观察结果。我们讨论了模型动态变量的演变，并得出结论，它们的渐近行为遵循移动临界点的轨迹。此外，我们发现宇宙有两种不同的可能命运。在其中一个中，它可能会经历一个加速膨胀，然后进入一个减速阶段，最终达到一个稳定的物质主导解。在另一种情况下，宇宙可以在不经历任何加速膨胀的情况下接近物质主导的临界点。我们认为第一种情况更符合观察结果。但随后进入减速阶段，最终达到稳定的物质主导解。在另一种情况下，宇宙可以在不经历任何加速膨胀的情况下接近物质主导的临界点。我们认为第一种情况更符合观察结果。但随后进入减速阶段，最终达到稳定的物质主导解。在另一种情况下，宇宙可以在不经历任何加速膨胀的情况下接近物质主导的临界点。我们认为第一种情况更符合观察结果。