Assume that $\mathbb F$ is an algebraically closed field with characteristic zero. The universal Racah algebra $\Re$ is a unital associative $\mathbb F$-algebra defined by generators and relations. The generators are $A,B, C, D$ and the relations state that $$ [A,B]=[B,C]=[C,A]=2D $$ and each of \begin{gather*} [A,D]+AC-BA, \qquad [B,D]+BA-CB, \qquad [C,D]+CB-AC \end{gather*} is central in $\Re$. The universal additive DAHA (double affine Hecke algebra) $\mathfrak H$ of type $(C_1^\vee,C_1)$ is a unital associative $\mathbb F$-algebra generated by $t_0,t_1,t_0^\vee,t_1^\vee$ and the relations state that $$ t_0+t_1+t_0^\vee+t_1^\vee=-1 $$ and each of $t_0^2, t_1^2, t_0^{\vee 2}, t_1^{\vee 2}$ is central in $\mathfrak H$. Each $\mathfrak H$-module is an $\Re$-module by pulling back via the algebra homomorphism $\Re\to \mathfrak H$ given by \begin{eqnarray*} A&\mapsto&\frac{(t_1^\vee+t_0^\vee)(t_1^\vee+t_0^\vee+2)}{4}, \\ B&\mapsto&\frac{(t_1+t_1^\vee)(t_1+t_1^\vee+2)}{4}, \\ C&\mapsto&\frac{(t_0^\vee+t_1)(t_0^\vee+t_1+2)}{4}. \end{eqnarray*} Let $V$ denote any finite-dimensional irreducible $\mathfrak H$-module. The set of $\Re$-submodules of $V$ forms a lattice under the inclusion partial order. We classify the lattices that arise by this construction. As a consequence, the $\Re$-module $V$ is completely reducible if and only if $t_0$ is diagonalizable on $V$.

中文翻译：

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通用 Racah 代数的有限维模和类型 (C1∨,C1) 的通用加法 DAHA

假设 $\mathbb F$ 是一个特征为零的代数闭域。通用 Racah 代数 $\Re$ 是由生成器和关系定义的单位结合 $\mathbb F$-代数。生成器是 $A,B, C, D$ 并且关系状态 $$ [A,B]=[B,C]=[C,A]=2D $$ 并且每个 \begin{gather*} [ A,D]+AC-BA, \qquad [B,D]+BA-CB, \qquad [C,D]+CB-AC \end{gather*} 是 $\Re$ 的中心。类型为 $(C_1^\vee,C_1)$ 的通用加法 DAHA（双仿射 Hecke 代数）$\mathfrak H$ 是由 $t_0,t_1,t_0^\vee 生成的单位结合 $\mathbb F$-代数， t_1^\vee$ 和关系表明 $$ t_0+t_1+t_0^\vee+t_1^\vee=-1 $$ 和 $t_0^2, t_1^2, t_0^{\vee 2} 中的每一个， t_1^{\vee 2}$ 是 $\mathfrak H$ 的中心。每个 $\mathfrak H$-module 都是 $\Re$-module，通过由 \begin{eqnarray*} A&\mapsto&\frac{(t_1^\ vee+t_0^\vee)(t_1^\vee+t_0^\vee+2)}{4}, \\B&\mapsto&\frac{(t_1+t_1^\vee)(t_1+t_1^\vee+2 )}{4}, \\ C&\mapsto&\frac{(t_0^\vee+t_1)(t_0^\vee+t_1+2)}{4}。\end{eqnarray*} 令 $V$ 表示任何有限维不可约的 $\mathfrak H$-模。$V$ 的$\Re$-子模块集合在包含偏序下形成格子。我们对由此构造产生的格子进行分类。因此，当且仅当 $t_0$ 在 $V$ 上可对角化时，$\Re$-module $V$ 是完全可约的。\frac{(t_0^\vee+t_1)(t_0^\vee+t_1+2)}{4}。\end{eqnarray*} 令 $V$ 表示任何有限维不可约的 $\mathfrak H$-模。$V$ 的$\Re$-子模块集合在包含偏序下形成格子。我们对由此构造产生的格子进行分类。因此，当且仅当 $t_0$ 在 $V$ 上可对角化时，$\Re$-module $V$ 是完全可约的。\frac{(t_0^\vee+t_1)(t_0^\vee+t_1+2)}{4}。\end{eqnarray*} 令 $V$ 表示任何有限维不可约的 $\mathfrak H$-模。$V$ 的$\Re$-子模块集合在包含偏序下形成格子。我们对由此构造产生的格子进行分类。因此，当且仅当 $t_0$ 在 $V$ 上可对角化时，$\Re$-module $V$ 是完全可约的。