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Sparse Kneser graphs are Hamiltonian
Journal of the London Mathematical Society ( IF 1.0 ) Pub Date : 2020-12-10 , DOI: 10.1112/jlms.12406 Torsten Mütze 1 , Jerri Nummenpalo 2 , Bartosz Walczak 3
Journal of the London Mathematical Society ( IF 1.0 ) Pub Date : 2020-12-10 , DOI: 10.1112/jlms.12406 Torsten Mütze 1 , Jerri Nummenpalo 2 , Bartosz Walczak 3
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For integers and , the Kneser graph
is the graph whose vertices are the -element subsets of and whose edges connect pairs of subsets that are disjoint. The Kneser graphs of the form are also known as the odd graphs. We settle an old problem due to Meredith, Lloyd, and Biggs from the 1970s, proving that for every , the odd graph has a Hamilton cycle. This and a known conditional result due to Johnson imply that all Kneser graphs of the form with and have a Hamilton cycle. We also prove that has at least distinct Hamilton cycles for . Our proofs are based on a reduction of the Hamiltonicity problem in the odd graph to the problem of finding a spanning tree in a suitably defined hypergraph on Dyck words.
中文翻译:
稀疏 Kneser 图是哈密顿量
对于整数 和 , Kneser 图 是顶点为 -元素子集 并且其边连接不相交的子集对。形式的 Kneser 图也称为奇数图。由于 1970 年代的 Meredith、Lloyd 和 Biggs,我们解决了一个老问题,证明对于每个,奇数图 有哈密顿循环。这和由 Johnson 引起的已知条件结果意味着所有形式的 Kneser 图 和 和 有一个汉密尔顿循环。我们也证明 至少有 不同的哈密顿循环 . 我们的证明基于将奇数图中的哈密顿性问题简化为在 Dyck 词的适当定义的超图中找到生成树的问题。
更新日期:2020-12-10
中文翻译:
稀疏 Kneser 图是哈密顿量
对于整数 和 , Kneser 图 是顶点为 -元素子集 并且其边连接不相交的子集对。形式的 Kneser 图也称为奇数图。由于 1970 年代的 Meredith、Lloyd 和 Biggs,我们解决了一个老问题,证明对于每个,奇数图 有哈密顿循环。这和由 Johnson 引起的已知条件结果意味着所有形式的 Kneser 图 和 和 有一个汉密尔顿循环。我们也证明 至少有 不同的哈密顿循环 . 我们的证明基于将奇数图中的哈密顿性问题简化为在 Dyck 词的适当定义的超图中找到生成树的问题。