Let $k$ be a field, $A$ a finitely generated associative $k$-algebra and $\operatorname{Rep}_A[n]$ the functor $\operatorname{Fields}_k\to \operatorname{Sets}$, which sends a field $K$ containing $k$ to the set of isomorphism classes of representations of $A_K$ of dimension at most $n$. We study the asymptotic behavior of the essential dimension of this functor, i.e., the function $r_A(n) := \operatorname{ed}_k(\operatorname{Rep}_A[n])$, as $n\to\infty$. In particular, we show that the rate of growth of $r_A(n)$ determines the representation type of $A$. That is, $r_A(n)$ is bounded from above if $A$ is of finite representation type, grows linearly if $A$ is of tame representation type and grows quadratically if A is of wild representation type. Moreover, $r_A(n)$ is a finer invariant of A, which allows us to distinguish among algebras of the same representation type.

中文翻译：

---

代数表示的基本维数

设 $k$ 是一个域，$A$ 是有限生成的结合 $k$-代数和 $\operatorname{Rep}_A[n]$ 函子 $\operatorname{Fields}_k\to \operatorname{Sets}$，它将包含 $k$ 的字段 $K$ 发送到最多为 $n$ 维的 $A_K$ 表示的同构类集合。我们研究这个函子的本质维度的渐近行为，即函数 $r_A(n) := \operatorname{ed}_k(\operatorname{Rep}_A[n])$，如 $n\to\infty $. 特别是，我们表明 $r_A(n)$ 的增长率决定了 $A$ 的表示类型。也就是说，如果 $A$ 是有限表示类型，则 $r_A(n)$ 从上方有界，如果 $A$ 是驯服表示类型，则线性增长，如果 A 是野生表示类型，则增长二次。此外，$r_A(n)$ 是 A 的更精细的不变量，