In this paper on hyperbolic systems of conservation laws in one space dimension, we give a complete picture of stability for all solutions to the Riemann problem which contain only extremal shocks. We study stability of the Riemann problem amongst a large class of solutions. We show stability among the family of solutions with shocks from any family. We assume solutions verify at least one entropy condition. We have no small data assumptions. The solutions we consider are bounded and satisfy a strong trace condition weaker than $BV_{\text{loc}}$. We make only mild assumptions on the system. In particular, our work applies to gas dynamics, including the isentropic Euler system and the full Euler system for a polytropic gas. We use the theory of a-contraction (see Kang and Vasseur [Arch. Ration. Mech. Anal., 222(1):343--391, 2016]), and introduce new ideas in this direction to allow for two shocks from different shock families to be controlled simultaneously. This paper shows $L^2$ stability for the Riemann problem for all time. Our results compare to Chen, Frid, and Li [Comm. Math. Phys., 228(2):201--217, 2002] and Chen and Li [J. Differential Equations, 202(2):332--353, 2004], which give uniqueness and long-time stability for perturbations of the Riemann problem -- amongst a large class of solutions without smallness assumptions and which are locally $BV$. Although, these results lack global $L^2$ stability.

中文翻译：

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大类双曲系统极值冲击黎曼问题的有限时间稳定性

在这篇关于一维空间守恒定律双曲系统的论文中，我们给出了黎曼问题的所有解的稳定性的完整图景，这些解只包含极值冲击。我们在一大类解决方案中研究黎曼问题的稳定性。我们在解决方案系列中表现出稳定性，并受到任何系列的冲击。我们假设解至少验证一个熵条件。我们没有小数据假设。我们考虑的解决方案是有界的，并且满足比 $BV_{\text{loc}}$ 弱的强跟踪条件。我们只对系统做出温和的假设。特别是，我们的工作适用于气体动力学，包括等熵欧拉系统和多方气体的全欧拉系统。我们使用收缩理论（参见 Kang 和 Vasseur [Arch. Ration. Mech. Anal., 222(1):343--391, 2016]），并在这个方向引入新的想法，以允许同时控制来自不同冲击系列的两个冲击。本文展示了黎曼问题的 $L^2$ 稳定性。我们的结果与 Chen、Frid 和 Li [Comm. 数学。Phys., 228(2):201--217, 2002] 和 Chen 和 Li [J. 微分方程, 202(2):332--353, 2004]，它为黎曼问题的扰动提供了唯一性和长期稳定性——在没有小性假设的一大类解决方案中，这些解决方案是局部 $BV$。虽然，这些结果缺乏全局 $L^2$ 稳定性。2002] 和陈和李 [J. 微分方程, 202(2):332--353, 2004]，它为黎曼问题的扰动提供了唯一性和长期稳定性——在没有小性假设的一大类解决方案中，这些解决方案是局部 $BV$。虽然，这些结果缺乏全局 $L^2$ 稳定性。2002] 和陈和李 [J. 微分方程, 202(2):332--353, 2004]，它为黎曼问题的扰动提供了唯一性和长期稳定性——在没有小性假设的一大类解决方案中，这些解决方案是局部 $BV$。虽然，这些结果缺乏全局 $L^2$ 稳定性。