A bstractBy expanding the reduced Pfaffian in the tree level Cachazo-He-Yuan (CHY) integrands for Yang-Mills (YM) and nonlinear sigma model (NLSM), we can get the Bern-Carrasco-Johansson (BCJ) numerators in Del Duca-Dixon-Maltoni (DDM) form for arbitrary number of particles in any spacetime dimensions. In this work, we give a set of very straightforward graphic rules based on spanning trees for a direct evaluation of the BCJ numerators for YM and NLSM. Such rules can be derived from the Laplace expansion of the corresponding reduced Pfaffian. For YM, the each one of the (n − 2)! DDM form BCJ numerators contains exactly (n − 1)! terms, corresponding to the increasing trees with respect to the color order. For NLSM, the number of nonzero numerators is at most (n − 2)! − (n − 3)!, less than those of several previous constructions.

中文翻译：

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来自减少的 Pfaffian 的 BCJ 分子

摘要通过在杨-米尔斯 (YM) 和非线性西格玛模型 (NLSM) 的树级 Cachazo-He-Yuan (CHY) 被积函数中扩展约化 Pfaffian，我们可以得到 Del Duca 中的 Bern-Carrasco-Johansson (BCJ) 分子-Dixon-Maltoni (DDM) 形式适用于任何时空维度中的任意数量的粒子。在这项工作中，我们给出了一组基于生成树的非常简单的图形规则，用于直接评估 YM 和 NLSM 的 BCJ 分子。这些规则可以从相应的约化 Pfaffian 的拉普拉斯展开式导出。对于 YM， (n − 2)! DDM 形式的 BCJ 分子正好包含 (n − 1)！项，对应于颜色顺序增加的树。对于 NLSM，非零分子的数量最多为 (n − 2)！− (n − 3)!，小于之前的几个结构。