We prove that a smooth convex body of diameter \(\delta < \frac{\pi }{2}\) on the d -dimensional unit sphere \(S^d\) is of constant diameter \(\delta \) if and only if it is of constant width \(\delta \). We also show this equivalence for all convex bodies on \(S^2\). Since, as shown earlier, the equivalence on \(S^d\) is true for every \(\delta \ge \frac{\pi }{2}\), the question whether spherical bodies of constant diameter and constant width on \(S^d\) coincide remains open for non-smooth bodies on \(S^d\), where \(d\ge 3\).

中文翻译：

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何时具有恒定宽度的恒定直径的球体？

我们证明了在 d 维单位球面\（S ^ d \）上直径为\（\ delta <\ frac {\ pi} {2} \）的光滑凸体 具有恒定的直径\（\ delta \）并且仅在宽度恒定为\（\ delta \）的情况下。我们还证明了\（S ^ 2 \）上所有凸体的等价性。因为，如前所述，对于每个\（\ delta \ ge \ frac {\ pi} {2} \），在\（S ^ d \）上的等价都是成立的，所以有一个问题是是否具有恒定直径和恒定宽度的球体\（S ^ d \）重合对于\（S ^ d \）上的非光滑物体保持开放，其中\（d \ ge 3 \）。