Queues can be seen as a service facility where quality of service (QoS) is an important measure for the performance of the system. In many cases, the queue implements the optimal admission control (either discounted or average) policy in the presence of holding/congestion cost and revenue collected from admitted customers. In this paper, users offer an arrival rate at stationarity that depends on the QoS they experience. We study the interaction between arriving customers and such a queue under two different QoS measures—the asymptotic rate of the customers lost and the fraction of customers lost in the long run. In particular, we investigate the behaviour of equilibrium points and equilibrium sets associated with this interaction and their interpretations in terms of business cycles. We provide sufficient conditions for existence of equilibrium sets for M/M/1 queue. These conditions further help us to identify the relationship among system parameters for which equilibrium sets exist. Next, we consider $$\textit{GI}/M/1$$ queues and provide a sufficient condition for existence of multiple optimal revenue policies. We then specialize these results to study the equilibrium sets of (i) a D/M/1 queue and (ii) a queue where the arrival rate is locally continuous. The equilibrium behaviour in the latter case is more interesting as there may be multiple equilibrium points or sets. Motivated by such queues, we introduce a weaker version of monotonicity and investigate the existence of generalized equilibrium sets.

中文翻译：

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一些$$\textit{GI}/M/1$$队列的均衡点和均衡集

队列可以被视为一种服务设施，其中服务质量 (QoS) 是衡量系统性能的重要指标。在许多情况下，队列在存在持有/拥塞成本和从被接纳客户收集的收入的情况下实施最佳接纳控制（折扣或平均）策略。在本文中，用户提供的平稳到达率取决于他们所体验的 QoS。我们研究了在两种不同的 QoS 措施下到达的客户和这样一个队列之间的交互——客户流失的渐近率和长期流失的客户比例。特别是，我们研究了与这种相互作用相关的均衡点和均衡集的行为及其在商业周期方面的解释。我们为 M/M/1 队列的均衡集存在提供充分条件。这些条件进一步帮助我们确定存在平衡集的系统参数之间的关系。接下来，我们考虑 $$\textit{GI}/M/1$$ 队列并提供存在多个最优收益策略的充分条件。然后我们专门研究这些结果来研究 (i) D/M/1 队列和 (ii) 到达率局部连续的队列的均衡集。后一种情况下的平衡行为更有趣，因为可能有多个平衡点或平衡集。受此类队列的启发，我们引入了较弱的单调性版本，并研究了广义均衡集的存在。这些条件进一步帮助我们确定存在平衡集的系统参数之间的关系。接下来，我们考虑 $$\textit{GI}/M/1$$ 队列并提供存在多个最优收益策略的充分条件。然后，我们专门研究这些结果来研究 (i) D/M/1 队列和 (ii) 到达率局部连续的队列的均衡集。后一种情况下的平衡行为更有趣，因为可能有多个平衡点或平衡集。受此类队列的启发，我们引入了较弱的单调性版本，并研究了广义均衡集的存在。这些条件进一步帮助我们确定存在平衡集的系统参数之间的关系。接下来，我们考虑 $$\textit{GI}/M/1$$ 队列并提供存在多个最优收益策略的充分条件。然后我们专门研究这些结果来研究 (i) D/M/1 队列和 (ii) 到达率局部连续的队列的均衡集。后一种情况下的平衡行为更有趣，因为可能有多个平衡点或平衡集。受此类队列的启发，我们引入了较弱的单调性版本，并研究了广义均衡集的存在。然后我们专门研究这些结果来研究 (i) D/M/1 队列和 (ii) 到达率局部连续的队列的均衡集。后一种情况下的平衡行为更有趣，因为可能有多个平衡点或平衡集。受此类队列的启发，我们引入了较弱的单调性版本，并研究了广义均衡集的存在。然后我们专门研究这些结果来研究 (i) D/M/1 队列和 (ii) 到达率局部连续的队列的均衡集。后一种情况下的平衡行为更有趣，因为可能有多个平衡点或平衡集。受此类队列的启发，我们引入了较弱的单调性版本，并研究了广义均衡集的存在。