Abstract The problem of determining the optimum shape of a homogeneous Euler–Bernoulli beam of a circular cross-section, in which the coupled axial and bending vibrations arose due to complex boundary conditions, is considered. The beam mass is minimized at prescribed fundamental frequency. The problem is solved applying Pontryagin’s maximum principle, with the beam cross-sectional diameter derivative with respect to longitudinal coordinate taken for control variable. This problem involves first-order singular optimal control, the calculations of which allowed the application of the Poisson bracket formalism and the fulfillment of the Kelley necessary condition on singular segments. Numerical solution of the two-point boundary value problem is obtained by the shooting method. An inequality constraint is imposed to the beam diameter derivative. Depending on the size of the diameter derivative boundaries, the obtained solutions are singular along the entire beam or consist of singular and non-singular segments, where the diameter derivative is at one of its boundaries. It is shown that such system is self-adjoint, so that only one differential equation of the costate equations system was integrated and the rest costate variables were expressed via the state variables. Also, the paper shows the fulfillment of necessary conditions for the optimality of junctions between singular and non-singular segments, as well as the percent saving of the beam mass compared to the beams of constant diameter at identical value of the fundamental frequency.

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在规定的基频下耦合弯曲和轴向振动的欧拉-伯努利梁的质量最小化

摘要 考虑确定圆形截面的均匀欧拉-伯努利梁的最佳形状的问题，其中由于复杂的边界条件而产生耦合的轴向和弯曲振动。在规定的基频下，光束质量被最小化。该问题是应用庞特里亚金的最大值原理解决的，梁横截面直径相对于纵向坐标的导数作为控制变量。该问题涉及一阶奇异最优控制，其计算允许泊松括号形式主义的应用和凯利必要条件对奇异段的满足。两点边值问题的数值解是通过打靶法得到的。对光束直径导数施加不等式约束。根据直径导数边界的大小，获得的解沿整个梁是奇异的，或者由奇异和非奇异段组成，其中直径导数位于其边界之一。结果表明，该系统是自伴的，因此只对协方差方程组的一个微分方程进行积分，其余协方差变量用状态变量表示。此外，该论文还展示了奇异节段和非奇异节段之间连接优化的必要条件的满足，以及与相同基频值下的恒定直径光束相比，光束质量的节省百分比。所获得的解沿整个梁是奇异的，或者由奇异和非奇异段组成，其中直径导数位于其边界之一。结果表明，该系统是自伴的，因此只对协方差方程组的一个微分方程进行积分，其余协方差变量用状态变量表示。此外，该论文还展示了奇异节段和非奇异节段之间连接优化的必要条件的满足，以及与相同基频值下的恒定直径光束相比，光束质量的节省百分比。所获得的解沿整个梁是奇异的，或者由奇异和非奇异段组成，其中直径导数位于其边界之一。结果表明，该系统是自伴的，因此只对协方差方程组的一个微分方程进行积分，其余协方差变量用状态变量表示。此外，该论文还展示了奇异节段和非奇异节段之间连接优化的必要条件的满足，以及与相同基频值下的恒定直径光束相比，光束质量的节省百分比。从而只对辅方程系统的一个微分方程进行积分，其余辅变量通过状态变量表示。此外，该论文还展示了奇异节段和非奇异节段之间连接优化的必要条件的满足，以及与相同基频值下的恒定直径光束相比，光束质量的节省百分比。从而只对辅方程系统的一个微分方程进行积分，其余辅变量通过状态变量表示。此外，该论文还展示了奇异节段和非奇异节段之间连接优化的必要条件的满足，以及与相同基频值下的恒定直径光束相比，光束质量的节省百分比。