Let $${H^2}\left( {{\mathbb{D}^2}} \right)$$ be the Hardy space over the bidisk $${\mathbb{D}^2}$$ , and let Mφ = [(z − φ(w))2] be the submodule generated by (z − φ(w))2, where φ(w) is a function in H∞(w). The related quotient module is denoted by $${N_\varphi } = {H^2}\left( {{\mathbb{D}^2}} \right)\Theta {M_\varphi }$$ . In the present paper, we study the Fredholmness of compression operators Sz, Sw on Nφ. When φ(w) is a nonconstant inner function, we prove that the Beurling type theorem holds for the fringe operator Fw on [(z − w)2] ⊖ z[(z − w)2] and the Beurling type theorem holds for the fringe operator Fz on Mφ ⊖ wMφ if φ(0) = 0. Lastly, we study some properties of Fw on [(z − w2)2] ⊖ z[(z − w2)2].

中文翻译：

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Bidisk上的Mφ型子模块

令 $${H^2}\left( {{\mathbb{D}^2}} \right)$$ 是 bidisk $${\mathbb{D}^2}$$ 上的哈代空间，并令Mφ = [(z − φ(w))2] 是由 (z − φ(w))2 生成的子模，其中 φ(w) 是 H∞(w) 中的函数。相关的商模块表示为 $${N_\varphi } = {H^2}\left( {{\mathbb{D}^2}} \right)\Theta {M_\varphi }$$ 。在本文中，我们研究了 Nφ 上压缩算子 Sz、Sw 的 Fredholmness。当 φ(w) 是一个非常数内函数时，我们证明了 Beurling 型定理对 [(z − w)2] ⊖ z[(z − w)2] 上的边缘算子 Fw 成立，而 Beurling 型定理对于如果 φ(0) = 0，则 Mφ ⊖ wMφ 上的边缘算子 Fz。最后，我们研究了 Fw 在 [(z − w2)2] ⊖ z[(z − w2)2] 上的一些性质。