We consider a scheduling problem where a set of jobs are first processed on a machine with an unavailability interval and, then, delivered to the customer directly. We focus on an integrated schedule of production and distribution such that the sum of the maximum delivery time and total delivery cost is optimized. We study two classes of processing machines in the production part. In the first class, the serial-batch machine, the processing time of a batch is the sum of the processing times of its jobs. In the second class, the parallel-batch machine, the processing time of a batch is the maximum processing time of the jobs contained in the batch. The machine has a fixed capacity, and the jobs are processed in batches under the condition that the total size of the jobs in a batch cannot exceed the machine capacity. Two patterns of job’s processing, i.e., resumable and non-resumable, are considered if it is interrupted by the unavailability interval on the machine. In the distribution part, there are sufficient vehicles with a fixed capacity to deliver the completed jobs. The total size of the completed jobs in one delivery cannot exceed the vehicle capacity. We show that these four problems are NP-hard in the strong sense in which the jobs have the same processing times and arbitrary sizes, and we propose an approximation algorithm for solving these four problems. Moreover, we show that the performance ratio of the algorithm is 2 for the serial-batch machine setting, and the error bound is 71/99 for the parallel-batch machine setting. We also evaluate the performance of the approximation algorithm by the computational results.

中文翻译：

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具有不可用约束的单边界批处理机上的集成调度问题

我们考虑一个调度问题，其中首先在具有不可用间隔的机器上处理一组作业，然后将其直接交付给客户。我们专注于生产和分销的综合时间表，以使最长交货时间和总交货成本之和最优化。我们在生产部分研究两类加工机。在第一批串行批处理机器中，批处理时间是其作业的处理时间之和。在第二类并行批处理机器中，批处理时间是该批处理中包含的作业的最大处理时间。机器具有固定的容量，并且在批量作业的总大小不能超过机器容量的条件下分批处理作业。两种工作处理方式，如果被机器上的不可用间隔打断，则考虑可恢复和不可恢复。在配送部分，有足够的车辆以固定的能力交付完成的工作。一次交付中已完成工作的总大小不能超过车辆的容量。我们显示这四个问题在强意义上是NP难的，在这些意义上，作业具有相同的处理时间和任意大小，并且我们提出了一种近似算法来解决这四个问题。此外，我们证明了该算法的性能比率对于串行批处理机器设置是2，并且错误界限对于并行批处理机器设置是71/99。我们还通过计算结果评估了近似算法的性能。如果由于机器上的不可用间隔而中断，则将其考虑在内。在配送部分，有足够的车辆以固定的能力交付完成的工作。一次交付中已完成工作的总大小不能超过车辆的容量。我们显示这四个问题在强意义上是NP难的，其中作业具有相同的处理时间和任意大小，并且我们提出了一种近似算法来解决这四个问题。此外，我们证明了该算法的性能比率对于串行批处理机器设置是2，并且错误界限对于并行批处理机器设置是71/99。我们还通过计算结果评估了近似算法的性能。如果由于机器上的不可用间隔而中断，则将其考虑在内。在配送部分，有足够的车辆以固定的能力交付完成的工作。一次交付中已完成工作的总大小不能超过车辆的容量。我们显示这四个问题在强意义上是NP难的，其中作业具有相同的处理时间和任意大小，并且我们提出了一种近似算法来解决这四个问题。此外，我们证明了该算法的性能比率对于串行批处理机器设置是2，并且错误界限对于并行批处理机器设置是71/99。我们还通过计算结果评估了近似算法的性能。有足够的车辆以固定的能力交付完成的工作。一次交付中已完成工作的总大小不能超过车辆的容量。我们显示这四个问题在强意义上是NP难的，其中作业具有相同的处理时间和任意大小，并且我们提出了一种近似算法来解决这四个问题。此外，我们证明了该算法的性能比率对于串行批处理机器设置是2，并且错误界限对于并行批处理机器设置是71/99。我们还通过计算结果评估了近似算法的性能。有足够的车辆以固定的能力交付完成的工作。一次交付中已完成工作的总大小不能超过车辆的容量。我们显示这四个问题在强意义上是NP难的，其中作业具有相同的处理时间和任意大小，并且我们提出了一种近似算法来解决这四个问题。此外，我们证明了该算法的性能比率对于串行批处理机器设置是2，并且错误界限对于并行批处理机器设置是71/99。我们还通过计算结果评估了近似算法的性能。我们显示这四个问题在强意义上是NP难的，其中作业具有相同的处理时间和任意大小，并且我们提出了一种近似算法来解决这四个问题。此外，我们证明了该算法的性能比率对于串行批处理机器设置是2，并且错误界限对于并行批处理机器设置是71/99。我们还通过计算结果评估了近似算法的性能。我们显示这四个问题在强意义上是NP难的，其中作业具有相同的处理时间和任意大小，并且我们提出了一种近似算法来解决这四个问题。此外，我们证明了该算法的性能比率对于串行批处理机器设置为2，并且错误界限对于并行批处理机器设置为71/99。我们还通过计算结果评估了近似算法的性能。