It is a classical result that every $\mathbb{C}$-valued holomorphic function has a local power series representation. This even remains true for holomorphic functions with values in a locally complete locally convex Hausdorff space $E$ over $\mathbb{C}$. Motivated by this example we try to answer the following question. Let $E$ be a locally convex Hausdorff space over a field $\mathbb{K}$, $\mathcal{FV}(\Omega)$ be a locally convex Hausdorff space of $\mathbb{K}$-valued functions on a set $\Omega$ and $\mathcal{FV}(\Omega,E)$ be an $E$-valued counterpart of $\mathcal{FV}(\Omega)$ (where the term $E$-valued counterpart needs clarification itself). For which spaces is it possible to lift series representations of elements of $\mathcal{FV}(\Omega)$ to elements of $\mathcal{FV}(\Omega,E)$? We derive sufficient conditions for the answer to be affirmative which are applicable for many classical spaces of functions $\mathcal{FV}(\Omega)$ having a Schauder basis. As a byproduct we obtain results on the representation of $\mathcal{FV}(\Omega,E)$ as a tensor product.

中文翻译：

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基于 Schauder 分解的向量值函数空间中的级数表示

每个 $\mathbb{C}$ 值的全纯函数都有一个局部幂级数表示，这是一个经典的结果。这甚至对于在 $\mathbb{C}$ 上的局部完全局部凸 Hausdorff 空间 $E$ 中具有值的全纯函数仍然成立。受此示例的启发，我们尝试回答以下问题。设 $E$ 是域 $\mathbb{K}$ 上的局部凸 Hausdorff 空间，$\mathcal{FV}(\Omega)$ 是 $\mathbb{K}$ 值函数的局部凸 Hausdorff 空间一个集合 $\Omega$ 和 $\mathcal{FV}(\Omega,E)$ 是 $\mathcal{FV}(\Omega)$ 的 $E$ 值对应物（其中术语 $E$ 值对应物需要自己澄清）。对于哪些空间可以将 $\mathcal{FV}(\Omega)$ 元素的级数表示提升到 $\mathcal{FV}(\Omega, E)$? 我们推导出了答案为肯定的充分条件，这些条件适用于具有 Schauder 基的函数 $\mathcal{FV}(\Omega)$ 的许多经典空间。作为副产品，我们获得了将 $\mathcal{FV}(\Omega,E)$ 表示为张量积的结果。