Let Rj denote the jth Riesz transform on ℝn. We prove that there exists an absolute constant C > 0 such that |{|Rjf| > λ}|≤ C 1 λ∥f∥L1(ℝn) +supν|{|Rjν| > λ}| for any λ > 0 and f ∈ L1(ℝn), where the above supremum is taken over measures of the form ν =∑k=1Na kδck for N ∈ ℕ, ck ∈ ℝn, and ak ∈ ℝ+ with ∑k=1Na k ≤ 16∥f∥L1(ℝn). This shows that to establish dimensional estimates for the weak-type (1, 1) inequality for the Riesz transforms it suffices to study the corresponding weak-type inequality for Riesz transforms applied to a finite linear combination of Dirac masses. We use this fact to give a new proof of the best known dimensional upper bound, while our reduction result also applies to a more general class of Calderón–Zygmund operators.

中文翻译：

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关于 Riesz 变换的维弱类型 (1,1) 界

让Rj表示jthRiesz 变换ℝn. 我们证明存在一个绝对常数C > 0这样 |{|RjF| > λ}|≤ C 1 λ∥F∥大号1(ℝn) +支持ν|{|Rjν| > λ}| 对于任何λ > 0和F ∈ 大号1(ℝn)，其中上述上限值被采取的措施形式ν =∑ķ=1ñ一种 ķδCķ为了ñ ∈ ℕ,Cķ ∈ ℝn， 和一种ķ ∈ ℝ+和∑ķ=1ñ一种 ķ ≤ 16∥F∥大号1(ℝn). 这表明建立弱类型的维度估计(1, 1)Riesz 变换的不等式只要研究应用于狄拉克质量的有限线性组合的 Riesz 变换的相应弱型不等式就足够了。我们使用这个事实给出了最知名的维数上限的新证明，而我们的归约结果也适用于更一般的 Calderón-Zygmund 算子类。