The spherical $p$-spin is a fundamental model for glassy physics, thanks to its analytic solution achievable via the replica method. Unfortunately the replica method has some drawbacks: it is very hard to apply to diluted models and the assumptions beyond it are not immediately clear. Both drawbacks can be overcome by the use of the cavity method, which, however, needs to be applied with care to spherical models. Here we show how to write the cavity equations for spherical $p$-spin models on complete graphs, both in the Replica Symmetric (RS) ansatz (corresponding to Belief Propagation) and in the 1-step Replica Symmetry Breaking (1RSB) ansatz (corresponding to Survey Propagation). The cavity equations can be solved by a Gaussian (RS) and multivariate Gaussian (1RSB) ansatz for the distribution of the cavity fields. We compute the free energy in both ansatzes and check that the results are identical to the replica computation, predicting a phase transition to a 1RSB phase at low temperatures. The advantages of solving the model with the cavity method are many. The physical meaning of any ansatz for the cavity marginals is very clear. The cavity method works directly with the distribution of local quantities, which allows to generalize the method to dilute graphs. What we are presenting here is the first step towards the solution of the diluted version of the spherical $p$-spin model, which is a fundamental model in the theory of random lasers and interesting $per~se$ as an easier-to-simulate version of the classical fully-connected $p$-spin model.

中文翻译：

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用腔法求解球形 p-spin 模型：与复制结果等效

球形 $p$-spin 是玻璃物理学的基本模型，这要归功于其可通过复制方法获得的解析解。不幸的是，复制方法有一些缺点：它很难应用于稀释模型，而且超出它的假设也不是很清楚。使用腔法可以克服这两个缺点，但是，需要小心地将其应用于球形模型。在这里，我们展示了如何在完整图上编写球形 $p$-spin 模型的腔方程，包括副本对称 (RS) ansatz（对应于置信传播）和 1 步副本对称破坏 (1RSB) ansatz (对应于调查传播）。腔方程可以通过高斯 (RS) 和多元高斯 (1RSB) ansatz 求解腔场分布。我们计算两个 ansatzes 中的自由能并检查结果是否与复制计算相同，预测在低温下相变到 1RSB 相。用腔法求解模型的优点很多。腔边缘的任何 ansatz 的物理意义都非常清楚。空腔法直接与局部量的分布一起工作，这允许将该方法推广到稀释图。我们在这里展示的是解决球形 $p$-spin 模型的稀释版本的第一步，这是随机激光理论中的一个基本模型，有趣的是 $per~se$ 作为一个更容易-模拟经典全连接 $p$-spin 模型的版本。预测在低温下向 1RSB 相的相变。用腔法求解模型的优点很多。腔边缘的任何 ansatz 的物理意义都非常清楚。空腔法直接与局部量的分布一起工作，这允许将该方法推广到稀释图。我们在这里展示的是解决球形 $p$-spin 模型的稀释版本的第一步，这是随机激光理论中的一个基本模型，有趣的是 $per~se$ 作为一个更容易-模拟经典全连接 $p$-spin 模型的版本。预测在低温下向 1RSB 相的相变。用腔法求解模型的优点很多。腔边缘的任何 ansatz 的物理意义都非常清楚。空腔法直接与局部量的分布一起工作，这允许将该方法推广到稀释图。我们在这里展示的是解决球形 $p$-spin 模型的稀释版本的第一步，这是随机激光理论中的一个基本模型，有趣的是 $per~se$ 作为一个更容易-模拟经典全连接 $p$-spin 模型的版本。空腔法直接与局部量的分布一起工作，这允许将该方法推广到稀释图。我们在这里展示的是解决球形 $p$-spin 模型的稀释版本的第一步，这是随机激光理论中的一个基本模型，有趣的是 $per~se$ 作为一个更容易-模拟经典全连接 $p$-spin 模型的版本。空腔法直接与局部量的分布一起工作，这允许将该方法推广到稀释图。我们在这里展示的是解决球形 $p$-spin 模型的稀释版本的第一步，这是随机激光理论中的一个基本模型，有趣的是 $per~se$ 作为一个更容易-模拟经典全连接 $p$-spin 模型的版本。