This paper addresses the minmax regret 1-sink location problem on dynamic flow path networks with parametric weights. We are given a dynamic flow network consisting of an undirected path with positive edge lengths, positive edge capacities, and nonnegative vertex weights. A path can be considered as a road, an edge length as the distance along the road and a vertex weight as the number of people at the site. An edge capacity limits the number of people that can enter the edge per unit time. We consider the problem of locating a sink in the network, to which all the people evacuate from the vertices as quickly as possible. In our model, each weight is represented by a linear function in a common parameter $t$, and the decision maker who determines the location of a sink does not know the value of $t$. We formulate the sink location problem under such uncertainty as the minmax regret problem. Given $t$ and a sink location $x$, the cost of $x$ under $t$ is the sum of arrival times at $x$ for all the people determined by $t$. The regret for $x$ under $t$ is the gap between the cost of $x$ under $t$ and the optimal cost under $t$. The task of the problem is formulated as the one to find a sink location that minimizes the maximum regret over all $t$. For the problem, we propose an $O(n^4 2^{\alpha(n)} \alpha(n) \log n)$ time algorithm where $n$ is the number of vertices in the network and $\alpha(\cdot)$ is the inverse Ackermann function. Also for the special case in which every edge has the same capacity, we show that the complexity can be reduced to $O(n^3 2^{\alpha(n)} \alpha(n) \log n)$.

中文翻译：

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参数权重的动态流路网络上的Minmax后悔1-沉定位问题

本文解决了具有参数权重的动态流径网络上的最小最大后悔一沉定位问题。我们得到了一个动态流动网络，该流动网络由具有正边长度，正边容量和非负顶点权重的无方向路径组成。路径可以视为道路，边长可以视为沿道路的距离，而顶点权重可以视为站点的人数。边缘容量限制了单位时间内可以进入边缘的人数。我们考虑在网络中定位汇点的问题，所有人员都应尽快从汇点撤离。在我们的模型中，每个权重由一个公共参数$ t $中的线性函数表示，而确定汇点位置的决策者并不知道$ t $的值。我们在诸如maxmax后悔问题之类的不确定性下制定了汇的位置问题。给定$ t $和一个接收器位置$ x $，$ t $以下的$ x $的成本是$ t $所确定的所有人的到达时间$ x $的总和。对于$ x $低于$ t $的遗憾是$ x $低于$ t $的成本与最优成本低于$ t $的差距。问题的任务被公式化为寻找一个汇的位置，从而使所有$ t $的最大后悔最小化。对于这个问题，我们提出了一个$ O（n ^ 4 2 ^ {\ alpha（n）} \ alpha（n）\ log n）$时间算法，其中$ n $是网络中的顶点数，而$ \ alpha （\ cdot）$是逆阿克曼函数。同样，对于每个边具有相同容量的特殊情况，我们表明可以将复杂度降低为$ O（n ^ 3 2 ^ {\ alpha（n）} \ alpha（n）\ log n）$。给定$ t $和一个接收器位置$ x $，$ t $以下的$ x $的成本是$ t $所确定的所有人的到达时间$ x $的总和。对于$ x $低于$ t $的遗憾是$ x $低于$ t $的成本与最优成本低于$ t $的差距。问题的任务被公式化为寻找一个汇的位置，从而使所有$ t $的最大后悔最小化。对于这个问题，我们提出了一个$ O（n ^ 4 2 ^ {\ alpha（n）} \ alpha（n）\ log n）$时间算法，其中$ n $是网络中的顶点数，而$ \ alpha （\ cdot）$是逆阿克曼函数。同样，对于每个边具有相同容量的特殊情况，我们表明可以将复杂度降低为$ O（n ^ 3 2 ^ {\ alpha（n）} \ alpha（n）\ log n）$。给定$ t $和一个接收器位置$ x $，$ t $以下的$ x $的成本是$ t $所确定的所有人的到达时间$ x $的总和。对于$ x $低于$ t $的遗憾是$ x $低于$ t $的成本与最优成本低于$ t $的差距。问题的任务被公式化为寻找一个汇的位置，从而使所有$ t $的最大后悔最小化。对于这个问题，我们提出了一个$ O（n ^ 4 2 ^ {\ alpha（n）} \ alpha（n）\ log n）$时间算法，其中$ n $是网络中的顶点数，而$ \ alpha （\ cdot）$是逆阿克曼函数。同样，对于每个边具有相同容量的特殊情况，我们表明可以将复杂度降低为$ O（n ^ 3 2 ^ {\ alpha（n）} \ alpha（n）\ log n）$。$ t $以下的$ x $的遗憾在于$ t $以下的$ x $成本与$ t $以下的最优成本之间的差距。问题的任务被公式化为找到一个汇的位置，以使所有$ t $的最大后悔最小化。对于这个问题，我们提出了一个$ O（n ^ 4 2 ^ {\ alpha（n）} \ alpha（n）\ log n）$时间算法，其中$ n $是网络中的顶点数，而$ \ alpha （\ cdot）$是逆阿克曼函数。同样，对于每个边具有相同容量的特殊情况，我们表明可以将复杂度降低为$ O（n ^ 3 2 ^ {\ alpha（n）} \ alpha（n）\ log n）$。对于$ x $低于$ t $的遗憾是$ x $低于$ t $的成本与最优成本低于$ t $的差距。问题的任务被公式化为寻找一个汇的位置，从而使所有$ t $的最大后悔最小化。对于这个问题，我们提出了一个$ O（n ^ 4 2 ^ {\ alpha（n）} \ alpha（n）\ log n）$时间算法，其中$ n $是网络中的顶点数，而$ \ alpha （\ cdot）$是逆阿克曼函数。同样，对于每个边具有相同容量的特殊情况，我们表明可以将复杂度降低为$ O（n ^ 3 2 ^ {\ alpha（n）} \ alpha（n）\ log n）$。我们提出了$ O（n ^ 4 2 ^ {\ alpha（n）} \ alpha（n）\ log n）$时间算法，其中$ n $是网络中的顶点数，而$ \ alpha（\ cdot） $是逆阿克曼函数。同样，对于每个边具有相同容量的特殊情况，我们表明可以将复杂度降低为$ O（n ^ 3 2 ^ {\ alpha（n）} \ alpha（n）\ log n）$。我们提出了$ O（n ^ 4 2 ^ {\ alpha（n）} \ alpha（n）\ log n）$时间算法，其中$ n $是网络中的顶点数，而$ \ alpha（\ cdot） $是逆阿克曼函数。同样，对于每个边具有相同容量的特殊情况，我们表明可以将复杂度降低为$ O（n ^ 3 2 ^ {\ alpha（n）} \ alpha（n）\ log n）$。