In the first part of this paper, we discuss the classical W-algebra $\mathcal{W}(\mathfrak{g}, F)$ associated with a Lie superalgebra $\mathfrak{g}$ and the nilpotent element $F$ in an $\mathfrak{sl}_2$-triple. We find a generating set of $\mathcal{W}(\mathfrak{g}, F)$ and compute the Poisson brackets between them. In the second part, which is the main part of the paper, we discuss supersymmetric classical W-algebras. We introduce two different constructions of a supersymmetric classical W-algebra $\mathcal{W}(\mathfrak{g}, f)$ associated with a Lie superalgebra $\mathfrak{g}$ and an odd nilpotent element $f$ in a subalgebra isomorphic to $\mathfrak{osp}(1|2)$. The first construction is via the SUSY classical BRST complex and the second is via the SUSY Drinfeld-Sokolov Hamiltonian reduction. We show that these two methods give rise to isomorphic SUSY Poisson vertex algebras. As a supersymmetric analogue of the first part, we compute explicit generators and Poisson brackets between the generators.

中文翻译：

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（超对称）经典 W 代数的结构

在本文的第一部分，我们讨论了与李超代数 $\mathfrak{g}$ 和幂零元 $F$ 相关的经典 W-代数 $\mathcal{W}(\mathfrak{g}, F)$在 $\mathfrak{sl}_2$-triple 中。我们找到一组 $\mathcal{W}(\mathfrak{g}, F)$ 并计算它们之间的泊松括号。在第二部分，即本文的主要部分，我们讨论了超对称经典 W 代数。我们引入了超对称经典 W 代数 $\mathcal{W}(\mathfrak{g}, f)$ 的两种不同构造，与李超代数 $\mathfrak{g}$ 和一个奇幂零元 $f$ 相关联与 $\mathfrak{osp}(1|2)$ 同构的子代数。第一个构造是通过 SUSY 经典 BRST 复形，第二个是通过 SUSY Drinfeld-Sokolov Hamiltonian 归约。我们表明这两种方法产生了同构的 SUSY 泊松顶点代数。作为第一部分的超对称模拟，我们计算显式生成器和生成器之间的泊松括号。