We show the $O(\log n)$ time extract minimum function of efficient priority queues can be generalized to the extraction of the $k$ smallest elements in $O(k \log(n/k))$ time, where we define $\log(x)$ as $\max(\log_2(x), 1)$. We first show heap-ordered tree selection (Kaplan et al., SOSA '19) can be applied on the heap-ordered trees of the classic Fibonacci heap to support the extraction in $O(k \log(n/k))$ amortized time. We then show selection is possible in a priority queue with optimal worst-case guarantees by applying heap-ordered tree selection on Brodal queues (SODA '96), supporting the operation in $O(k \log(n/k))$ worst-case time. Via a reduction from the multiple selection problem, $\Omega(k \log(n/k))$ time is necessary if insertion is supported in $o(\log n)$ time. We then apply the result to lazy search trees (Sandlund & Wild, FOCS '20), creating a new interval data structure based on selectable heaps. This gives optimal $O(B+n)$ time lazy search tree performance, lowering insertion complexity into a gap $\Delta_i$ to $O(\log(n/|\Delta_i|))$ time. An $O(1)$ time merge operation is also made possible when used as a priority queue, among other situations. If Brodal queues are used, runtimes of the lazy search tree can be made worst-case in the general case of two-sided gaps. The presented data structure makes fundamental use of soft heaps (Chazelle, J. ACM '00), biased search trees, and efficient priority queues, approaching the theoretically-best data structure for ordered data.

中文翻译：

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可选堆和最佳懒惰搜索树

我们展示了有效优先级队列的$ O（\ log n）$时间提取最小函数可以推广为$ O（k \ log（n / k））$时间中$ k $最小元素的提取，其中将$ \ log（x）$定义为$ \ max（\ log_2（x），1）$。我们首先显示堆排序树选择（Kaplan等人，SOSA '19）可以应用于经典斐波那契堆的堆排序树，以支持$ O（k \ log（n / k））$的提取。摊销时间。然后，我们通过在Brodal队列上应用堆排序的树选择（SODA '96），证明在具有最佳最坏情况保证的优先级队列中进行选择，并支持最坏的$ O（k \ log（n / k））$操作案件的时间。通过减少多项选择问题，如果在$ o（\ log n）$时间中支持插入，则需要$ \ Omega（k \ log（n / k））$时间。然后，我们将结果应用于惰性搜索树（Sandlund和 Wild，FOCS '20），基于可选堆创建了新的间隔数据结构。这样可以提供最佳的$ O（B + n）$时间懒惰搜索树性能，从而将插入复杂度降低到$ O（\ log（n / | \ Delta_i |））$时间之间。在其他情况下，用作优先级队列时，也可以执行$ O（1）$时间合并操作。如果使用Brodal队列，则在双面间隙的一般情况下，惰性搜索树的运行时可能会变得最坏。提出的数据结构基本利用了软堆（Chazelle，J。ACM '00），有偏向的搜索树和有效的优先级队列，接近了有序数据的理论上最好的数据结构。将插入复杂度降低到$ O（\ log（n / | \ Delta_i |））$时间。在其他情况下，用作优先级队列时，也可以进行$ O（1）$时间合并操作。如果使用Brodal队列，则在双面间隙的一般情况下，惰性搜索树的运行时可能会变得最坏。提出的数据结构基本利用了软堆（Chazelle，J。ACM '00），有偏向的搜索树和有效的优先级队列，接近了有序数据的理论上最好的数据结构。将插入复杂度降低到$ O（\ log（n / | \ Delta_i |））$时间。在其他情况下，用作优先级队列时，也可以进行$ O（1）$时间合并操作。如果使用Brodal队列，则在两侧间隙的一般情况下，惰性搜索树的运行时可能会变得最坏。提出的数据结构基本利用了软堆（Chazelle，J。ACM '00），有偏向的搜索树和有效的优先级队列，接近了有序数据的理论上最好的数据结构。