We investigate the parameterized complexity of the recognition problem for the proper $H$-graphs. The $H$-graphs are the intersection graphs of connected subgraphs of a subdivision of a multigraph $H$, and the properness means that the containment relationship between the representations of the vertices is forbidden. The class of $H$-graphs was introduced as a natural (parameterized) generalization of interval and circular-arc graphs by Bir\'o, Hujter, and Tuza in 1992, and the proper $H$-graphs were introduced by Chaplick et al. in WADS 2019 as a generalization of proper interval and circular-arc graphs. For these graph classes, $H$ may be seen as a structural parameter reflecting the distance of a graph to a (proper) interval graph, and as such gained attention as a structural parameter in the design of efficient algorithms. We show the following results. - For a tree $T$ with $t$ nodes, it can be decided in $ 2^{\mathcal{O}(t^2 \log t)} \cdot n^3 $ time, whether an $n$-vertex graph $ G $ is a proper $ T $-graph. For yes-instances, our algorithm outputs a proper $T$-representation. This proves that the recognition problem for proper $H$-graphs, where $H$ required to be a tree, is fixed-parameter tractable when parameterized by the size of $T$. Previously only NP-completeness was known. - Contrasting to the first result, we prove that if $H$ is not constrained to be a tree, then the recognition problem becomes much harder. Namely, we show that there is a multigraph $H$ with 4 vertices and 5 edges such that it is NP-complete to decide whether $G$ is a proper $H$-graph.

中文翻译：

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识别适当的树形图

我们研究了正确的$ H $-图的识别问题的参数化复杂性。$ H $-图是多图$ H $的一个细分的相连子图的相交图，其正确性意味着顶点表示之间的包含关系是禁止的。$ H $-图的类别是Bir'o，Hujter和Tuza在1992年作为区间和圆弧图的自然（参数化）概化而引入的，而适当的$ H $-图则由Chaplick等人引入。等 在WADS 2019中作为适当间隔和圆弧图的概括。对于这些图类，$ H $可以看作是反映图到（适当）区间图的距离的结构参数，因此在有效算法的设计中作为结构参数引起了人们的关注。我们显示以下结果。-对于具有$ t $节点的树$ T $，可以在$ 2 ^ {\ mathcal {O}（t ^ 2 \ log t）} \ cdot n ^ 3 $时间中确定$ n $-顶点图$ G $是适当的$ T $图。对于yes实例，我们的算法输出正确的$ T $表示形式。这证明了适当的$ H $图的识别问题（其中$ H $必须是树）在通过$ T $的大小进行参数化时是固定参数可处理的。以前只知道NP完整性。-与第一个结果相反，我们证明如果$ H $不被约束为树，则识别问题将变得更加困难。即，我们表明存在一个包含4个顶点和5个边的多图$ H $，从而确定$ G $是否是正确的$ H $-图是NP完全的。可以在$ 2 ^ {\ mathcal {O}（t ^ 2 \ log t）} \ cdot n ^ 3 $时间中确定$ n $-顶点图$ G $是否是正确的$ T $-图。对于yes实例，我们的算法输出正确的$ T $表示形式。这证明了适当的$ H $图的识别问题（其中$ H $必须是树）在通过$ T $的大小进行参数化时是固定参数可处理的。以前只知道NP完整性。-与第一个结果相反，我们证明如果$ H $不被约束为树，则识别问题将变得更加困难。即，我们表明存在一个包含4个顶点和5个边的多图$ H $，从而确定$ G $是否是正确的$ H $-图是NP完全的。可以在$ 2 ^ {\ mathcal {O}（t ^ 2 \ log t）} \ cdot n ^ 3 $时间中确定$ n $-顶点图$ G $是否是正确的$ T $-图。对于yes实例，我们的算法输出正确的$ T $表示形式。这证明了适当的$ H $图的识别问题（其中$ H $必须是树）在通过$ T $的大小进行参数化时是固定参数可处理的。以前只知道NP完整性。-与第一个结果相反，我们证明如果$ H $不被约束为树，则识别问题将变得更加困难。即，我们表明存在一个包含4个顶点和5个边的多图$ H $，从而确定$ G $是否是正确的$ H $-图是NP完全的。这证明了适当的$ H $图的识别问题（其中$ H $必须是树）在通过$ T $的大小进行参数化时是固定参数可处理的。以前只知道NP完整性。-与第一个结果相反，我们证明如果$ H $不被约束为树，则识别问题将变得更加困难。即，我们表明存在一个包含4个顶点和5个边的多图$ H $，从而确定$ G $是否是正确的$ H $-图是NP完全的。这证明了适当的$ H $图的识别问题（其中$ H $必须是树）在通过$ T $的大小进行参数化时是固定参数可处理的。以前只知道NP完整性。-与第一个结果相反，我们证明如果$ H $不被约束为树，则识别问题将变得更加困难。即，我们表明存在一个包含4个顶点和5个边的多图$ H $，从而确定$ G $是否是正确的$ H $-图是NP完全的。