The capacity of a discrete-time model of optical fiber described by the split-step Fourier method (SSFM) as a function of the average input power $\mathcal P$ and the number of segments in distance $K$ is considered. It is shown that if $K\geq \mathcal{P}^{2/3}$ and $\mathcal P\rightarrow \infty$, the capacity of the resulting continuous-space lossless model is lower bounded by $\frac{1}{2}\log_2(1+\text{SNR}) - \frac{1}{2}+ o(1)$, where $o(1)$ tends to zero with the signal-to-noise ratio $\text{SNR}$. As $K\rightarrow \infty$, the intra-channel signal-noise interactions average out to zero due to the law of large numbers and the SSFM model tends to a diagonal phase noise model. It follows that, in contrast to the discrete-space model where there is only one signal degree-of-freedom (DoF) at high powers, the number of DoFs in the continuous-space model is at least half of the input dimension $n$. Intensity-modulation and direct detection achieves this rate. The pre-log in the lower bound when $K{=}\mathcal{P}^{1/\delta}$ is generally characterized in terms of $\delta$. We consider the SSFM model where the dispersion matrix does not depend on $K$, e.g., when the step size in distance is fixed. It is shown that the capacity of this model when $ K\geq \mathcal{P}^3$ and $\mathcal P \rightarrow \infty$ is $\frac{1}{2n}\log_2(1+\text{SNR})+ o(1)$. Thus, there is only one DoF in this model. Finally, it is shown that if the nonlinearity parameter $\gamma\rightarrow\infty$, the capacity of the continuous-space model is $\frac{1}{2}\log_2(1+\text{SNR})+ o(1)$ for any $\text{SNR}$.

中文翻译：

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连续空间SSFM模型光纤容量的下界

考虑了由分步傅里叶方法（SSFM）描述的光纤离散时间模型的容量与平均输入功率$ \数学P $和距离$ K $中段数的关系。结果表明，如果$ K \ geq \ mathcal {P} ^ {2/3} $和$ \ mathcal P \ rightarrow \ infty $，则生成的连续空间无损模型的容量将由$ \ frac { 1} {2} \ log_2（1+ \ text {SNR}）-\ frac {1} {2} + o（1）$，其中$ o（1）$在信噪比下趋于零$ \ text {SNR} $。由于$ K \ rightarrow \ infty $，由于大数定律，通道内信号噪声交互平均为零，并且SSFM模型趋向于对角线相位噪声模型。因此，与离散空间模型相反，在离散模型中，高功率下只有一个信号自由度（DoF），连续空间模型中的DoF数量至少为输入维度$ n $的一半。强度调制和直接检测可达到此速率。$ K {=} \ mathcal {P} ^ {1 / \ delta} $时，下限中的前对数通常用$ \ delta $来表示。我们考虑SSFM模型，其中色散矩阵不依赖于$ K $，例如，当距离的步长固定时。结果表明，当$ K \ geq \ mathcal {P} ^ 3 $和$ \ mathcal P \ rightarrow \ infty $时，该模型的容量为$ \ frac {1} {2n} \ log_2（1+ \ text { SNR} + o（1）$。因此，此模型中只有一个自由度。最后，表明如果非线性参数$ \ gamma \ rightarrow \ infty $，则连续空间模型的容量为$ \ frac {1} {2} \ log_2（1+ \ text {SNR}）+ o （1）对于任何$ \ text {SNR} $。强度调制和直接检测可达到此速率。$ K {=} \ mathcal {P} ^ {1 / \ delta} $时，下限中的前对数通常用$ \ delta $来表示。我们考虑SSFM模型，其中色散矩阵不依赖于$ K $，例如，当距离的步长固定时。结果表明，当$ K \ geq \ mathcal {P} ^ 3 $和$ \ mathcal P \ rightarrow \ infty $时，该模型的容量为$ \ frac {1} {2n} \ log_2（1+ \ text { SNR}）+ o（1）$。因此，此模型中只有一个自由度。最后，表明如果非线性参数$ \ gamma \ rightarrow \ infty $，则连续空间模型的容量为$ \ frac {1} {2} \ log_2（1+ \ text {SNR}）+ o （1）对于任何$ \ text {SNR} $。强度调制和直接检测可达到此速率。$ K {=} \ mathcal {P} ^ {1 / \ delta} $时，下限中的前对数通常用$ \ delta $来表示。我们考虑SSFM模型，其中色散矩阵不依赖于$ K $，例如，当距离的步长固定时。结果表明，当$ K \ geq \ mathcal {P} ^ 3 $和$ \ mathcal P \ rightarrow \ infty $时，该模型的容量为$ \ frac {1} {2n} \ log_2（1+ \ text { SNR}）+ o（1）$。因此，此模型中只有一个自由度。最后，表明如果非线性参数$ \ gamma \ rightarrow \ infty $，则连续空间模型的容量为$ \ frac {1} {2} \ log_2（1+ \ text {SNR}）+ o （1）对于任何$ \ text {SNR} $。我们考虑SSFM模型，其中色散矩阵不依赖于$ K $，例如，当距离的步长固定时。结果表明，当$ K \ geq \ mathcal {P} ^ 3 $和$ \ mathcal P \ rightarrow \ infty $时，该模型的容量为$ \ frac {1} {2n} \ log_2（1+ \ text { SNR}）+ o（1）$。因此，此模型中只有一个自由度。最后，表明如果非线性参数$ \ gamma \ rightarrow \ infty $，则连续空间模型的容量为$ \ frac {1} {2} \ log_2（1+ \ text {SNR}）+ o （1）对于任何$ \ text {SNR} $。我们考虑SSFM模型，其中色散矩阵不依赖于$ K $，例如，当距离的步长固定时。结果表明，当$ K \ geq \ mathcal {P} ^ 3 $和$ \ mathcal P \ rightarrow \ infty $时，该模型的容量为$ \ frac {1} {2n} \ log_2（1+ \ text { SNR}）+ o（1）$。因此，此模型中只有一个自由度。最后，表明如果非线性参数$ \ gamma \ rightarrow \ infty $，则连续空间模型的容量为$ \ frac {1} {2} \ log_2（1+ \ text {SNR}）+ o （1）对于任何$ \ text {SNR} $。