We study harmonic-based algorithms for the $d$-dimensional ($d$D) generalizations of three classical geometric packing problems: geometric bin packing (BP), strip packing (SP), and geometric knapsack (KS). Caprara (MOR 2008) studied a harmonic-based algorithm $\mathtt{HDH}_k$, that has an asymptotic approximation ratio of $T_{\infty}^{d-1}$ (where $T_{\infty} \approx 1.691$) for $d$D BP and $d$D SP when items are not allowed to be rotated. We give fast and simple harmonic-based algorithms with asymptotic approximation ratios of $T_{\infty}^{d-1}$, $T_{\infty}^{d}$ and $(1-\epsilon)3^{-d}$ for $d$D SP, $d$D BP and $d$D KS, respectively, when orthogonal rotations are allowed about all or a subset of axes. This gives the first approximation algorithm for $d$D KS for $d > 3$. Furthermore, we provide a more sophisticated harmonic-based algorithm, which we call $\mathtt{HGaP}_k$, that is $T_{\infty}^{d-1}(1+\epsilon)$-asymptotic-approximate for $d$D BP for the rotational case. This gives an approximation ratio of $2.860 + \epsilon$ for 3D BP with rotations, which improves upon the current best-known algorithm. In addition, we study multiple-choice packing problems that generalize the rotational case. Here we are given $n$ sets of $d$D cuboidal items and we have to choose exactly one (resp. at most one for the knapsack variant) item from each set and then pack the chosen items. All our algorithms also work for multiple-choice packing problems.

中文翻译：

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用于将$ d $维长方体包装到垃圾箱中的谐波算法

我们针对三种经典几何堆积问题的$ d $维（$ d $ D）归纳研究基于谐波的算法：几何箱堆积（BP），带状堆积（SP）和几何背包（KS）。Caprara（MOR 2008）研究了基于谐波的算法$ \ mathtt {HDH} _k $，其渐近逼近率为$ T _ {\ infty} ^ {d-1} $（其中$ T _ {\ infty} \ approx $ d $ D BP和$ d $ D SP的费用为1.691 $）（不允许旋转项目）。我们给出了基于简谐的快速简单算法，其渐近逼近度为$ T _ {\ infty} ^ {d-1} $，$ T _ {\ infty} ^ {d} $和$（1- \ epsilon）3 ^ {当允许绕轴的全部或子集进行正交旋转时，分别对$ d $ D SP，$ d $ D BP和$ d $ D KS使用-d} $。这给出了对于$ d> 3 $的$ d $ D KS的第一个近似算法。此外，我们提供了更复杂的基于谐波的算法，对于旋转情况，我们称其为$ \ mathtt {HGaP} _k $，即$ d_D BP的$ T _ {\ infty} ^ {d-1}（1+ \ epsilon）$-渐近近似。对于旋转的3D BP，这得出的近似比率为$ 2.860 + \ epsilon $，这比当前最著名的算法有所改进。此外，我们研究了笼统轮换案例的多项选择打包问题。在这里，我们获得了$ n $套$ d $ D立方形物品，我们必须从每套物品中准确选择一件（背包装最多为一件），然后包装所选择的物品。我们所有的算法也适用于选择包装问题。改进了当前最著名的算法。此外，我们研究了笼统轮换案例的多项选择打包问题。在这里，我们获得了$ n $套$ d $ D立方形物品，我们必须从每套物品中准确选择一件（背包装最多为一件），然后包装所选择的物品。我们所有的算法也适用于选择包装问题。改进了当前最著名的算法。此外，我们研究了笼统轮换案例的多项选择打包问题。在这里，我们获得了$ n $套$ d $ D立方形物品，我们必须从每套物品中准确选择一件（背包装最多为一件），然后包装所选择的物品。我们所有的算法也适用于选择包装问题。