Let $$R$$ be a commutative complex algebra and $$ \partial $$ be a $$ \mathbb{C} $$ -linear derivation of $$R$$ such that all powers of $$ \partial $$ are $$R$$ -linearly independent. Let $$R[ \partial ]$$ be the algebra of differential operators in $$ \partial $$ with coefficients in $$R$$ and $$ P{\kern-1.5pt}sd $$ be its extension by the pseudodifferential operators in $$ \partial $$ with coefficients in $$R$$ . In the algebra $$R[ \partial ]$$ , we seek monic differential operators $$ \mathbf{M} _n$$ of order $$n\ge2$$ without a constant term satisfying a system of Lax equations determined by the decomposition of $$ P{\kern-1.5pt}sd $$ into a direct sum of two Lie algebras that lies at the basis of the strict KP hierarchy. Because this set of Lax equations is an analogue for this decomposition of the $$n$$ -KdV hierarchy, we call it the strict $$n$$ -KdV hierarchy. The system has a minimal realization, which allows showing that it has homogeneity properties. Moreover, we show that the system is compatible, i.e., the strict differential parts of the powers of $$M=( \mathbf{M} _n)^{1/n}$$ satisfy zero-curvature conditions, which suffice for obtaining the Lax equations for $$ \mathbf{M} _n$$ and, in particular, for proving that the $$n$$ th root $$M$$ of $$ \mathbf{M} _n$$ is a solution of the strict KP theory if and only if $$ \mathbf{M} _n$$ is a solution of the strict $$n$$ -KdV hierarchy. We characterize the place of solutions of the strict $$n$$ -KdV hierarchy among previously known solutions of the strict KP hierarchy.

中文翻译：

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减少严格的 KP 层次结构

令 $$R$$ 是一个交换复数代数，$$ \partial $$ 是 $$ \mathbb{C} $$ - $$R$$ 的线性推导，使得 $$ \partial $$ 的所有幂是$$R$$ - 线性无关。令 $$R[ \partial ]$$ 是 $$ \partial $$ 中的微分算子的代数，系数在 $$R$$ 中，$$ P{\kern-1.5pt}sd $$ 是它的扩展$$ \partial $$ 中的伪微分运算符，系数在 $$R$$ 中。在代数 $$R[ \partial ]$$ 中，我们寻找阶 $$n\ge2$$ 的单调微分算子 $$ \mathbf{M} _n$$ 没有一个常数项满足由下式确定的 Lax 方程组将 $$ P{\kern-1.5pt}sd $$ 分解为位于严格 KP 层次结构基础上的两个李代数的直接和。因为这组 Lax 方程类似于 $$n$$ -KdV 层次结构的这种分解，我们称之为严格的 $$n$$ -KdV 层次结构。该系统有一个最小的实现，它允许显示它具有同质性。此外，我们证明了系统是兼容的，即 $$M=( \mathbf{M} _n)^{1/n}$$ 的幂的严格微分部分满足零曲率条件，这足以获得$$ \mathbf{M} _n$$ 的 Lax 方程，特别是为了证明 $$ \mathbf{M} _n$$ 的 $$n$$ th 根 $$M$$ 是严格 KP 理论当且仅当 $$ \mathbf{M} _n$$ 是严格 $$n$$ -KdV 层次结构的解决方案。我们在先前已知的严格 KP 层次结构的解决方案中描述了严格 $$n$$ -KdV 层次结构的解决方案的位置。我们证明系统是兼容的，即 $$M=( \mathbf{M} _n)^{1/n}$$ 的幂的严格微分部分满足零曲率条件，这足以获得 Lax $$ \mathbf{M} _n$$ 的方程，特别是为了证明 $$ \mathbf{M} _n$$ 的 $$n$$ th 根 $$M$$ 是严格的解KP 理论当且仅当 $$ \mathbf{M} _n$$ 是严格的 $$n$$ -KdV 层次结构的解决方案。我们在先前已知的严格 KP 层次结构的解决方案中描述了严格 $$n$$ -KdV 层次结构的解决方案的位置。我们证明系统是兼容的，即 $$M=( \mathbf{M} _n)^{1/n}$$ 的幂的严格微分部分满足零曲率条件，这足以获得 Lax $$ \mathbf{M} _n$$ 的方程，特别是为了证明 $$ \mathbf{M} _n$$ 的 $$n$$ th 根 $$M$$ 是严格的解KP 理论当且仅当 $$ \mathbf{M} _n$$ 是严格的 $$n$$ -KdV 层次结构的解决方案。我们在先前已知的严格 KP 层次结构的解决方案中描述了严格 $$n$$ -KdV 层次结构的解决方案的位置。证明 $$ \mathbf{M} _n$$ 的 $$n$$ th 根 $$M$$ 是严格 KP 理论的解当且仅当 $$ \mathbf{M} _n$$ 是严格的 $$n$$ -KdV 层次结构的解决方案。我们在先前已知的严格 KP 层次结构的解决方案中描述了严格 $$n$$ -KdV 层次结构的解决方案的位置。证明 $$ \mathbf{M} _n$$ 的 $$n$$ th 根 $$M$$ 是严格 KP 理论的解当且仅当 $$ \mathbf{M} _n$$ 是严格的 $$n$$ -KdV 层次结构的解决方案。我们在先前已知的严格 KP 层次结构的解决方案中描述了严格 $$n$$ -KdV 层次结构的解决方案的位置。