We prove a theorem describing the limiting fine-scale statistics of orbits of a point in hyperbolic space under the action of a discrete subgroup. Similar results have been proved only in the lattice case with two recent infinite-volume exceptions by Zhang for Apollonian circle packings and certain Schottky groups. Our results hold for general Zariski dense, non-elementary, geometrically finite subgroups in any dimension. Unlike in the lattice case orbits of geometrically finite subgroups do not necessarily equidistribute on the whole boundary of hyperbolic space. But rather they may equidistribute on a fractal subset. Understanding the behavior of these orbits near the boundary is central to Patterson–Sullivan theory and much further work. Our theorem characterises the higher order spatial statistics and thus addresses a very natural question. As a motivating example our work applies to sphere packings (in any dimension) which are invariant under the action of such discrete subgroups. At the end of the paper we show how this statistical characterization can be used to prove convergence of moments and to write down the limiting formula for the two-point correlation function and nearest neighbor distribution. Moreover we establish a formula for the 2 dimensional limiting gap distribution (and cumulative gap distribution) which also applies in the lattice case.

中文翻译：

---

几何有限双曲子群的轨道方向

我们证明了一个定理，该定理描述了在离散子群的作用下，双曲空间中一点的轨道的极限精细尺度统计。类似的结果仅在晶格情况下得到了证明，Zhang 最近针对阿波罗环填充和某些肖特基群提出了两个无限体积例外。我们的结果适用于任何维度上的一般 Zariski 密集、非基本、几何有限子群。与晶格情况不同，几何有限子群的轨道不一定均匀分布在双曲空间的整个边界上。而是它们可能在分形子集上均匀分布。了解边界附近这些轨道的行为是帕特森-沙利文理论和进一步工作的核心。我们的定理描述了高阶空间统计，因此解决了一个非常自然的问题。作为一个激励性的例子，我们的工作适用于在这些离散子群的作用下保持不变的球体填充（在任何维度上）。在论文的最后，我们展示了如何使用这种统计特征来证明矩的收敛性，并写下两点相关函数和最近邻分布的限制公式。此外，我们建立了二维限制间隙分布（和累积间隙分布）的公式，该公式也适用于晶格情况。在论文的最后，我们展示了如何使用这种统计特征来证明矩的收敛性，并写下两点相关函数和最近邻分布的限制公式。此外，我们建立了二维限制间隙分布（和累积间隙分布）的公式，该公式也适用于晶格情况。在论文的最后，我们展示了如何使用这种统计特征来证明矩的收敛性，并写下两点相关函数和最近邻分布的限制公式。此外，我们建立了二维限制间隙分布（和累积间隙分布）的公式，该公式也适用于晶格情况。