In this paper, we study the geometry of a certain class of compact dynamical horizons with a time-dependent induced metric in locally rotationally symmetric class II spacetimes. We first obtain a compactness condition for embedded [Formula: see text]-manifolds in these spacetimes, satisfying the weak energy condition, with non-negative isotropic pressure [Formula: see text]. General conditions for a [Formula: see text]-manifold to be a dynamical horizon are imposed, as well as certain genericity conditions, which in the case of locally rotationally symmetric class II spacetimes reduces to the statement that “the weak energy condition is strictly satisfied or otherwise violated”. The compactness condition is presented as a spatial first-order partial differential equation in the sheet expansion [Formula: see text], in the form [Formula: see text], where [Formula: see text] is the Gaussian curvature of [Formula: see text]-surfaces in the spacetime and [Formula: see text] is a real number parametrizing the differential equation, where [Formula: see text] can take on only two values, [Formula: see text] and [Formula: see text]. Using geometric arguments, it is shown that the case [Formula: see text] can be ruled out and the [Formula: see text] ([Formula: see text]-dimensional sphere) geometry of compact dynamical horizons for the case [Formula: see text] is established. Finally, an invariant characterization of this class of compact dynamical horizons is also presented.

中文翻译：

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局部旋转对称Ⅱ类时空中某类致密动态视界的几何性质

在本文中，我们研究了在局部旋转对称 II 类时空中具有时间相关诱导度量的某一类致密动态视界的几何。我们首先获得了在这些时空中嵌入[公式：见文本]-流形的紧致性条件，满足弱能量条件，具有非负各向同性压力[公式：见文本]。强加了[公式：见文本]-流形成为动态视界的一般条件，以及某些一般性条件，在局部旋转对称 II 类时空的情况下，这些条件简化为“弱能量条件严格满意或以其他方式违反”。紧致性条件表示为片展开[公式：见文本]中的空间一阶偏微分方程，形式为[公式：见文本]，其中 [Formula: see text] 是 [Formula: see text] 时空中表面的高斯曲率， [Formula: see text] 是参数化微分方程的实数，其中 [Formula: see text] 只能取两个值，[公式：见文本]和 [公式：见文本]。使用几何参数，表明可以排除[公式：见文本]的情况，并且[公式：见文本]（[公式：见文本]-维球）情况的紧致动力视界几何[公式：见正文]成立。最后，还给出了这类紧致动态视界的不变特征。see text] 只能取两个值，[Formula: see text] 和 [Formula: see text]。使用几何参数，表明可以排除[公式：见文本]的情况，并且[公式：见文本]（[公式：见文本]-维球）情况的紧致动力视界几何[公式：见正文]成立。最后，还给出了这类紧致动态视界的不变特征。see text] 只能取两个值，[Formula: see text] 和 [Formula: see text]。使用几何参数，表明可以排除[公式：见文本]的情况，并且[公式：见文本]（[公式：见文本]-维球）情况的紧致动力视界几何[公式：见正文]成立。最后，还给出了这类紧致动态视界的不变特征。